Интегралы в школьном курсе математики

Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Министерство образования и науки Российской Федерации

Куйбышевский филиал

ГОУ ВПО «Новосибирский государственный педагогический университет»

Факультет математики и информатики

Кафедра математики, информатики и методики преподавания

На правах рукописи

Курсовая работа

Интегралы в школьном курсе математики

Выполнил: студент 3 курса

Горбунов Андрей Николаевич

Специальность: 050201.00

Математика с дополнительной специальностью Информатика

Форма обучения: очная

Научный руководитель: Шаталова Н.П.

профессор, канд. физ.-мат. наук

Куйбышев 2011

Введение

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является неопределенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа. Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека. Также понятие неопределенного интеграла широко используется в физике. Поэтому в школе, на занятиях по математике, изучается темы «Неопределенный интеграл» и «Определенный интеграл и его приложения».

Целью исследования является систематизация материала по выбранным темам на занятиях в общеобразовательных классах и классах с повышенной математической подготовкой.

Объектом исследования является неопределенный интеграл, определенный интеграл и методы его решения. Объект исследования и проблема исследования обусловили выбор следующих задачи: собрать теоретический материал по теме; составить систему упражнений, обеспечивающих прочное усвоение учащихся основным приемам решения задач.

Структура курсовой работы следующая. Она состоит из трех глав:

Первая глава содержит теоретический материал по общим сведениям о неопределенном интеграле.

Вторая глава содержит теоретический материал об определенном интеграле.

Третья глава содержит практические задания.

Весьма существенное место на занятиях по математике должно занимать решение примеров, для наиболее полного усвоения учебного материала. Предполагается, что изучение любой темы сопровождается решением значительного их числа. Большое количество однотипных упражнений по всем узловым темам позволяет выработать у учащихся необходимые практические навыки. Поэтому в данной работе разработана система упражнений, для наиболее полного усвоения учебного материала.

Глава 1. Понятие «Неопределенного интеграла»

1.1 Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f'(x) или дифференциала df=f'(x)dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F'(х)=f(x) или dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д.

Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) - две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F₂(x)=F₁x)+C, где С - постоянная.

1.2 Неопределенный интеграл, его свойства

Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

- (1)

В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) - подынтегральной функцией, х - переменной интегрирования, а С - постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

и .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель а (а?0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если F(x) - первообразная функции f(x), то:



6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u - дифференцируемая функция.

1.3 Таблица неопределенных интегралов

Приведем основные правила интегрирования функций.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).)

1. (n?-1).

2. (a >0, a?1).

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. (a?0).

15. (a?0).

16. (|u| > |a|).

17. (|u| < |a|).

18.

19.

Интегралы 1 - 17 называют табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.

1.4 Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=ц(t), откуда dx=ц'(t)dt.

Теорема. Пусть функция x=ц(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х - множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:

- (2)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) - две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:

d(uv)=udv+vdu. - (3)

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Но так как , то:

- (4)

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

I. Интегралы вида , , (P_n(x) - многочлен степени n, k - некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=P_n(x) и применить формулу (4) n раз.

II. Интегралы вида , , , , (Pn(x) - многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P_n(x).

III. Интегралы вида , (a, b - числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

1.5 Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби

Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n?m), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n?m), то дробь называется правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается пут...