Изучение свойств случайных величин, планирование эксперимента и анализ данных

Вычисление среднего одномерных случайных величин. Определение доверительного интервала для математического ожидания и для дисперсии. Построение эмпирической и приближенной линий регрессии Y по X. Дисперсионный анализ греко-латынского куба второго порядка.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Изучение свойств случайных величин, планирование эксперимента и анализ данных



Содержание

Введение

1. Одномерные случайные величины

1.1 Формирование выборки объёмом n=15

1.1.1 Вычисление среднего и дисперсии

1.1.2 Оценка нормальности выборки объёмом 15

1.1.3 Определение доверительного интервала для математического ожидания

1.1.4 Определение доверительного интервала для дисперсии

1.2 Получение второй выборки объёмом 100

1.2.1 Оценка нормальности выборки объёмом 100

1.2.2 Вычисление среднего и дисперсии

1.2.3 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий этих двух выборок при условии равенства их генеральных дисперсий

1.2.4 Оценка доверительного интервала для среднего первой выборки, используя данные второй выборки

2. Двумерные случайные величины

2.1 Выбор двух функций и построение корреляционного поля

2.2 Изучение зависимости выбранного У от одного из факторов Х

2.2.1 Вычисление условных средних У для фиксированных значений Х

2.2.2 Вычисление условных дисперсий У для фиксированных значений Х

2.3 Построение линии регрессии У по Х (эмпирической и приближённой)

3. Дисперсионный анализ и планирование эксперимента

3.1 Выбор факторов Х и функций отклика показателей качества У₁ и У₂, краткое описание эксперимента

3.2 Составление плана эксперимента

3.3 Составление матрицы эксперимента

3.4 Дисперсионный анализ греко-латинского куба второго порядка

3.5 Проверка условий применимости дисперсионного анализа, критерий Дункана для показателей качества Y₁ и Y₂

4. Регрессионный анализ

Заключение

Список литературы

математический ожидание дисперсия регрессия

Введение

Целью курсовой работы является изучение показателей качества (ПК), как случайных величин, и доказательство факта влияния на них нескольких факторов, действующих одновременно. По имитационной модели процесса необходимо получить значения двух функций отклика (ПК), выбрав несколько факторов и задавая им градации. Модель является таблицей EXCEL.

В ходе курсовой работы необходимо выявить, какие факторы и их градации достоверно влияют на выбранные показатели качества.



1 Одномерные случайные величины

1.1 Формирование выборки объемом n=15

Используя модель переменных, выбираем функцию отклика Y3 и формируем выборку объемом 15. Выборка представлена в таблице 1.

Таблица 1 - Выборка объемом n=15

123,2
130,0
131,0
132,8
133,0
135,8
138,6
141,0
143,4
143,4
143,6
148,4
150,0
150,4
157,2

1.1.1 Вычисление среднего и дисперсии

Определяем среднее результатов наблюдений:

, (1)

где n - объем выборки;

y_i - наблюдаемые значения выборки.

Определяем дисперсию:



, (2)

Для нашей выборки имеем:

Проверка наличия грубых погрешностей

Под грубой погрешностью измерения понимается погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях. Она может быть сделана вследствие неправильного применения прибора, неверной записи показаний прибора, ошибочно прочитанного отсчета и т.п.

Для выявления грубых погрешностей можно воспользоваться следующими критериями:

- критерий "трех сигм" (надежен при числе измерений n>20);

- критерий Романовского (применяется, если число измерений n<20);

- критерий Шарлье (используется, если число наблюдений в ряду великоn>20);

- вариационный критерий Диксона (мощный критерий с малыми вероятностями ошибок).

Для полученной выборки объема n=15 воспользуемся критерием Романовского:

- вычисляем отношение для каждого значения из выборки по формуле:

и сравниваем с табличным критерием.

- по таблице 7.1 [3] на уровне значимости 0,05 для n=15 находим табличный критерий . Если окажется больше, то этот результат следует отбросить.



По результатам расчета, используя данные таблицы 1 делаем вывод о том что грубых погрешностей нет.

1.1.2 Оценка нормальности

Одним из способов проверки нормальности распределения является вычисление особых параметров выборочной совокупности результатов анализа, носящих название асимметрии А и эксцесса Е.

Воспользуемся описательной статистикой для нахождения значений асимметрии и эксцесса:

Столбец1
Среднее	140,127
Стандартная ошибка	2,383
Медиана	141,000
Мода	143,500
Стандартное отклонение	9,229
Дисперсия выборки	85,168
Эксцесс	-0,509
Асимметричность	0,023
Интервал	34,000
Минимум	123,200
Максимум	157,200
Сумма	2101,900
Счет	15,000
Уровень надежности(95,0%)	5,111

По величине асимметрии и эксцесса можно косвенно судить о нормальности распределения. Более достоверной является оценка с использованием дисперсий этих величин, которые являются функциями от кратности анализа:



(4)

(5)

где n - число результатов в выборке.

Последующее сопоставление этих асимметрии и эксцесса и их дисперсий с помощью так называемого критерия согласия позволяет решить вопрос о том, наблюдается ли в данном случае нормальное распределение результатов анализа. Критерий согласия формулируется следующим образом: если выборочная асимметрия и эксцесс удовлетворяют неравенствам

и ,

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.

В нашем случае: и ,

и

Так как значение асимметрии и эксцесса близки к нулю, а их значения не превышают соответствующие значения дисперсий, то мы можем сделать вывод о нормальности распределения.

Для оценки нормальности распределения можем воспользоваться не только критерием асимметрии и эксцесса, но и такими критериями, как:

- критерий Пирсона (;

- критерий Колмогорова-Смирнова;

- критерий Шапиро-Вилка;

- критерий Жака-Берра;

- критерий Андерсена-Дарлинга;

- критерий Дэвида-Хартли-Пирсона;

- критерий Саркади;.

- критерий Оя и др...