Обчислення меж гіперболічних функцій та замінна змінного. Порівняння гіперболічних і зворотних до них функцій. Диференціювання зворотних гіперболічних функцій, невизначений інтеграл. Розкладання гіперболічних функцій по формулах Тейлора та Маклорена.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Курсова робота

Дослідження властивостей гіперболічних функцій

Зміст

• Вступ
• 1. Гіперболічні функції
• 2. Обчислення меж гіперболічних функцій
• 2.1 Розкриття невизначеностей
• 2.2 Заміна змінного при обчисленні межі
• 2.3 Порівняння гіперболічних і зворотних до них функцій
• 2.3.1 Еквівалентні функції
• 2.3.2 Заміна функцій еквівалентними при обчисленні меж
• 2.3.3 Поняття нескінченно малої функції в порівнянні з інший
• 2.3.4 Критерій еквівалентності функцій
• 3. Диференціювання зворотних гіперболічних функцій
• 3.1 Диференціал функції
• 3.2 Правила диференціювання
• 3.3 Диференціювання складної функції
• 3.4 Диференціювання гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій
• 4. Формула Тейлора гіперболічних функцій
• 4.1 Формула Тейлора
• 4.2 Формула Маклорена
• 4.3 Розкладання гіперболічних функцій по формулі Тейлора
• 4.4 Обчислення бокового вівтаря за допомогою формули Тейлора
• 5. Невизначений інтеграл гіперболічних функцій
• 5.1 Поняття невизначеного інтеграла
• 5.2 Властивості невизначеного інтеграла
• 5.3 Інтегрування гіперболічних і зворотних гіперболічних функцій
• 6. Ряди гіперболічних функцій
• 6.1 Статечні ряди
• 6.2 Властивості статечних рівностей
• 6.3 Ряд Тейлора
• 6.4 Розкладання гіперболічних функцій у ряд Тейлора
• 6.5 Гіперболічні функції комплексного змінного
• Висновок
• Список використаних джерел

Вступ

У математиці і її додатках до природознавства й техніки знаходять широке застосування показові функції. Це, зокрема, пояснюється тим, що багато досліджувані в природознавстві явища ставляться до числа так званих процесів органічного росту, у яких швидкості зміни функцій, що беруть участь у них, пропорційні величинам самих функцій.

Якщо позначити через функцію, а через аргумент, то диференціальний закон процесу органічного росту може бути записаний у вигляді де деякий постійний коефіцієнт пропорційності.

Інтегрування цього рівняння приводить до загального рішення у вигляді показової функції

Якщо задати початкова умова при , то можна визначити довільну постійну й, таким чином, знайти приватне рішення яке являє собою інтегральний закон розглянутого процесу.

До процесів органічного росту ставляться при деяких припущеннях, що спрощують, такі явища, як, наприклад, зміна атмосферного тиску залежно від висоти над поверхнею Землі, радіоактивний розпад, охолодження або нагрівання тіла в навколишнім середовищі постійної температури, хімічна реакція (наприклад, розчинення речовини у воді), при якій має місце закон дії мас (швидкість реакції пропорційна наявній кількості реагуючої речовини), розмноження мікроорганізмів і багато хто інші.

Зростання грошової суми внаслідок нарахування на неї складних відсотків (відсотки на відсотки) також являє собою процес органічного росту.

Ці приклади можна було б продовжувати.

Поряд з окремими показовими функціями в математику і її додатках знаходять застосування різні комбінації показових функцій, серед яких особливе значення мають деякі лінійні й дрібно-лінійні комбінації функцій і так звані гіперболічні функції. Цих функцій шість, для них уведені наступні спеціальні найменування й позначення:

(гіперболічний синус),

(гіперболічний косинус),

(гіперболічний тангенс),

(гіперболічний котангенс),

(гіперболічний секанс),

(гіперболічний секанс).

Виникає питання, чому дані саме такі назви, причому тут гіпербола й відомі із тригонометрії назви функцій: синус, косинус, і т.д.? Виявляється, що співвідношення, що зв'язують тригонометричні функції з координатами крапок окружності одиничного радіуса, аналогічні співвідношенням, що зв'язують гіперболічні функції з координатами крапок рівносторонньої гіперболи з одиничною піввіссю. Цим саме й виправдується найменування гіперболічних функцій.

1. Гіперболічні функції

Функції, задані формулами називають відповідно гіперболічним косинусом і гіперболічним синусом.

Ці функції визначені й безперервні на , причому - парна функція, а - непарна функція.

Малюнок 1.1 - Графіки функцій

З визначення гіперболічних функцій і треба, що:

За аналогією із тригонометричними функціями гіперболічні тангенс і котангенс визначаються відповідно формулами

Функція визначена й безперервна на , а функція визначена й безперервна на множині з виколотою крапкою ; обидві функції - непарні, їхні графіки представлені на малюнках нижче.

Малюнок 1.2 - Графік функції

Малюнок 1.3 - Графік функції

Можна показати, що функції й - строго зростаючі, а функція - строго убутна. Тому зазначені функції оборотні. Позначимо зворотні до них функції відповідно через .

Розглянемо функцію, зворотну до функції , тобто функцію . Виразимо неї через елементарні. Вирішуючи рівняння відносно , одержуємо Тому що , те, звідки

Заміняючи на , а на , знаходимо формулу для функції, зворотної для гіперболічного синуса:

Зауваження. Назва "гіперболічні функції" пояснюється тим, що рівняння можна розглядати як параметричні рівняння гіперболи . Параметр у рівняннях гіперболи дорівнює подвоєної площі гіперболічного сектора. Це відбито в позначеннях і назвах зворотних гіперболічних функцій, де частка є скорочення латинського (і англійського) слова “ ” - площа.

Вправа. Довести формули:

Доведемо формулу

Виразимо неї через елементарні. Вирішуючи рівняння відносно , одержуємо тому що , те, звідки Заміняючи на , а на одержимо

2. Обчислення меж гіперболічних функцій

2.1 Розкриття невизначеностей

При обчисленні меж часто зустрічається випадок, коли потрібно знайти де й - нескінченно малі функції при , тобто В цьому випадку обчислення межі називають "розкриттям невизначеності" виду .

Щоб знайти таку межу, звичайно перетворять дріб , виділяючи в чисельнику й знаменнику множник виду . Наприклад, якщо в деякій околиці крапки функції й представляються у вигляді де , а функції й безперервні в крапці , то при , звідки треба, що якщо .

Аналогічно, якщо й - нескінченно більші функції при , тобто те говорять, що їхня частка й різниця являють собою при невизначеність виду й відповідно. Для розкриття невизначеностей таких типів звичайно перетворять частка або різниця так, щоб до отриманої функції були застосовні властивості меж. Наприклад, якщо й - багаточлени ступеня , де , те, розділивши чисельник і знаменник дробу на , знайдемо, що

Приклад. Знайти якщо:

а) Розклавши чисельник і знаменник на множники, одержимо

звідки треба, що

б) Помноживши чисельник і знаменна функцію й використовуючи формулу , де одержимо

в) Тому що де , те використовуючи першу чудову межу й безперервність косинуса, одержуємо

2.2 Заміна змінного при обчисленні межі

Теорема 1. Якщо існують причому для всіх з деякої проколотої околиці крапки виконується умова , то в крапці існує межа складної функції й справедливо

Відповідно до визначення межі, функції й визначені відповідно в і , де , причому для виконується умова . Тому на множині визначена складна функція . Нехай - довільна послідовність така, що

Позначимо , тоді по визначенню межі функції

Тому що існує

Це означає, що тобто справедливо рівність

Приклад 1. Довести, що:

Функція безперервна й строго монотонна на (зростає при й убуває при ). На проміжку існує зворотна до неї функція , безперервна й строго монотонна. З огляду на, що при й використовуючи формулу одержуємо

Відзначимо важливий окремий випадок формули (1):

Приклад 2. Довести, що

Тому що те, застосовуючи формулу одержуємо

гіперболічна функція тейлор макларен

2.3 Порівняння гіперболічних і зворотних до них функцій

2.3.1 Еквівалентні функції

Якщо в деякій проколотій околиці крапки визначені функції такі, що то функції й називають еквівалентними (асимптотичне рівними) при й пишуть при або, коротше, при

Наприклад, при , тому що , а

Відзначимо, що функції й , що не мають нулів у проколотій околиці крапки...