Дифференциальные операции теории поля

Примеры скалярных полей. Производная в точке в направлении орта. Операторы дифференцирования или Гамильтона. Напряженность электрического поля, поле скоростей в движущейся среде. Дивергенция и ротор. Символ Кронекера. Некоторые свойства оператора набла.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Дифференциальные операции теории поля

Введение

Для описания физических величин удобно использовать понятие поля. Простейшими физическими величинами являются скаляр и вектор. Их обобщением является тензор. Полное определение тензора мы дадим в курсе тензорного анализа, а сейчас под тензором будем понимать физическую величину, которая может быть задана в виде числа (скаляра), вектора, матрицы или более сложного образования.

Определение 1. В пространстве (среде) задано поле тензора , если этот тензор определен в каждой точке пространства

.

В качестве можно выбрать скаляр, вектор или тензор более высокого ранга. Рассмотрим основные свойства поля и его характеристики.

1. Скалярное поле

Определение 1. Поле называется скалярным, если в каждой точке пространства определено значение скалярной величины .

Поле может зависеть также и от времени

.

Здесь t играет роль параметра. Примеры скалярных полей: температура в каждой точке сплошной среды, плотность вещества или электрического заряда (как функция координат точек среды), электрический потенциал,…

Определение 2. Поверхностью уровня скалярного поля называется совокупность точек удовлетворяющих уравнению

,

где С - некоторая постоянная.

На плоскости уравнение

определяет линии уровня.

Выберем в пространстве некоторое направление l, которое задается единичным вектором (ортом) . Рассмотрим две точки М и , лежащие на этой линии



Определение 3. Производной от функции по направлению l называется предел

.

Эта величина характеризует быстроту изменения функции в направлении . Имеем

,

,

, , .

Если направление задается вектором , то

.

Аналогично, для

и для

.

Определение 4. Градиентом скалярной функции называется вектор

.

В математике часто используется символ (читается «набла»)

,

который называют оператором дифференцирования или оператором Гамильтона. С помощью этого оператора градиент функции может быть записан в виде

.

Теорема 1. Производная скалярного поля в точке М в направлении орта равна проекции градиента поля на направление орта .

Доказательство. Производную по направлению, определяемому ортом , можно записать в виде скалярного произведения

С другой стороны

где ц - угол между векторами е и .

Максимальное значение достигается при , когда . Следовательно, градиент функции указывает направление максимального возрастания этой функции.

2. Векторное поле

Определение 1. Поле называется векторным, если в каждой точке пространства определено значение векторной величины .

Примеры векторных полей: напряженность электрического поля, поле скоростей в движущейся среде, напряженность магнитного поля,…

Определение 2. Векторными линиями поля называются кривые, касательные в каждой точке которых совпадают с направлениями вектора в этой точке. На рисунке показано поле скоростей движущейся жидкости.

В электростатике векторные линии называют силовыми линиями или линиями напряженности электрического поля.

Теорема 1. Если задано векторное поле , то векторные линии этого поля описываются системой дифференциальных уравнений

.

Доказательство. На рисунке в точке М показаны элемент длины векторной линии и вектор поля .

Запишем условие параллельности двух векторов:

.

Если векторное поле определяет скорость движения среды , то векторные линии называются линиями тока.

Пример 1. Найти векторную линию векторного поля , проходящую через точку .

Решение. Имеем систему дифференциальных уравнений

с начальными условиями

.

Проинтегрируем систему:

,

.

Используем начальные условия:

; .

Ответ: .

Пример 2. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости .

Ответ: .

3. Дивергенция и ротор векторного поля

Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже.

Рассмотрим векторное поле , заданное в трехмерном пространстве.

Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением

.

При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла

.

Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F. Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле .

Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке .

Ответ:

.

Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением

.

Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила .

Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла

.

Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля , поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF.

Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке .

Ответ: ,

.

Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля . В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей

.

Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения

,

полагая . Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики».

Пример 1. Вычислить градиент векторного поля .

Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем

.

Здесь символ Кронекера, - единичная матрица.

Ответ: .

Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и .

4. Некоторые свойства оператора набла

Ранее мы ввели оператор векторного дифференцирования

.

С помощью этого оператора мы записали основные дифференциальные операции в тензорных полях:

,

,

.

Оператор является обобщением оператора дифференцирования и обладает соответствующими свойствами производной:

1) производная суммы равна сумме производных

;

2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

.

В переводе на язык векторных функций эти свойства имеют вид:

,

,

,

,

,

.

Выводятся эти формулы так же, как и соответствующие формулы для производных функции одной переменной.

Использование оператора Гамильтона позволяет упростить многие операции, связанные с дифференцированием в тензорных полях. Однако следует иметь в виду, что этот оператор векторный и с ним надо обращаться аккуратно. Рассмотрим некоторые применения этого оператора. При этом соответствующие формулы записываются как с помощью оператора Гамильтона, так и в обычных обозначениях.

1) ,

;

2) ,

;

3) ,

4) ,

;

5) ,

.

Доказательство этих равенств можно произвести как непосредственным вычислением соответствующих функций, так и с помощь...