Дифференциальные операции второго порядка
Краткое сожержание материала:
Размещено на
Контрольная работа
тема: "Дифференциальные операции второго порядка"
Москва 2014
Содержание
- Введение
- 1. Оператор Лапласа
- 2. Градиент дивергенции
- 3. Дивергенция градиента и ротора
- 4. Ротор градиента и ротора
- 5. Формулы Грина
- Список использованной литературы и источников
Введение
Вычисление градиента, дивергенции и ротора связано с однократным дифференцированием некоторых функций, поэтому эти операции называют дифференциальными операциями первого порядка.
Для скалярного поля был введен один оператор первого порядка
.
Для векторного поля введены два оператора первого порядка
.
Повторное применение оператора "набла" приводит к необходимости вычисления вторых производных. Т.о. мы приходим к дифференциальным операторам второго порядка.
Имеет смысл рассматривать пять дифференциальных операций второго порядка:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Будем считать, что необходимые условия дифференцируемости, непрерывности и пр. выполнены. Более детально эти вопросы обсуждаются в расширенных курсах высшей математики.
1. Оператор Лапласа
Рассмотрим скалярное поле . Существует единственный дифференциальный оператор, действующий на это поле
.
Полученный вектор указывает величину и направление максимального возрастания функции .
Вычислим в явном виде . Используя оператор "набла", имеем
.
Убедимся в справедливости этого выражения путем непосредственного дифференцирования:
.
Выражение, естественно, получилось таким же.
Такое выражение часто встречается в различных задачах математической физики и для его записи введен специальный дифференциальный оператор второго порядка:
дифференциальная операция градиент дивергенция
.
Этот оператор называют оператором Лапласа или лапласианом. Формально можно записать
.
Итак, дивергенция градиента скалярной функции равна лапласиану этой функции. Оператор Лапласа широко применяется в различных задачах. Так, например, расчет температурного поля сводится к решению уравнения Лапласа
с соответствующими граничными условиями.
2. Градиент дивергенции
Рассмотрим операцию . В прямоугольной декартовой системе координат имеем
Полученное выражение является вектором, компонентами которого являются комбинации частных производных второго порядка.
Отметим, что некорректное использование оператора "набла" может привести к неверным результатам:
.
В этой формуле, которая отличается от полученной в начале параграфа, допущена ошибка в преобразовании
.
Три вектора, которые здесь используются, не образуют смешанное произведение векторов (в смешанном произведении ). Заменять действие двух операторов "набла" одним оператором Д недопустимо, т.к. их последовательные действия в отношении вектора F различаются.
Следует иметь в виду, что операции с оператором требуют внимания и аккуратности, поэтому соответствующие преобразования следует сопровождать непосредственными вычислениями, выполняя дифференцирование по координатам.
3. Дивергенция градиента и ротора
Дивергенцию градиента мы определили в §1
,
где был введен оператор Лапласа
.
Найдем дивергенцию ротора с помощью оператора "набла":
.
Нетрудно убедиться в справедливости этого равенства и непосредственным дифференцированием. Предлагается сделать это самостоятельно.
В выражении рассматривается смешанное произведение трех векторов , и . Отметим отличие этого случая от выражения
,
которое не является смешанным произведением (выражение является скалярным произведением, а не векторным).
4. Ротор градиента и ротора
Для операции можно также использовать оператор "набла":
,
Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования.
Из полученного результата можно получить важное следствие. Рассмотрим некоторую замкнутую кривую L и натянем на нее произвольную поверхность S.
Используя теорему Стокса, можем записать
.
Полученный результат сформулируем в виде теоремы:
Теорема 1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
Следствие 1. Криволинейный интеграл от градиента скалярной функции не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется начальной и конечной точками линии интегрирования.
.
Доказательство. Сделаем рисунок.
Выполним простейшие преобразования
,
Следовательно
. Имеем
.
Это означает, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Следовательно, величина интеграла зависит только от выбора точек А и В:
.
Вычислим операцию . Для этого используем известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения
.
Перепишем эту формулу в более удобном для нас виде
.
Преобразование сделано так, чтобы в дальнейших формулах оператор "набла" не стоял на последней позиции. В терминах оператора "набла" получим
.
(Что было бы, если использовать обычную формулу для двойного векторного произведения?)
Используя обозначение оператора Лапласа, можно записать
.
Имеем систему трех дифференциальных соотношений, записанных для компонент вектора F.
Мы рассмотрели основные дифференциальные операции второго порядка. В дальнейшем будем их использовать при решении различных задач.
5. Формулы Грина
Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Запишем формулу Гаусса-Остроградского
.
Пусть и - две произвольные скалярные функции. Положим
.
Тогда теорема Гаусса-Остроградского принимает вид
.
Можно записать
,
.
Здесь введено обозначение
для производной функции по направлению
После подстановки этих выражений в видоизмененную формулу Гаусса-Остроградского получим
.
Эта формула называется первой формулой Грина.
Аналогично, если положить
,
то первая формула Грина примет вид
.
Вычитая соответствующие формулы, получим
.
Эта формула называется второй формулой Грина.
Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.
Теорема 1. Значение функции во внутренней точке области Т, ограниченной поверхностью S, определяется формулой
, где
-
расстояние между точками и . Доказательство. Рассмотрим точку и окружим ее маленькой сферической поверхностью радиуса
Введем функцию
, где
.
Нетрудно вычислить оператор Лапласа от функции (сделать самостоятельно)
.
Из второй формулы Грина
,
записанной для области, ограниченной поверхностями S и , получим
Рассмотрим интеграл по поверхности сферы
Учитывая условие , получим
Пусть . Теорема о среднем для поверхностного интеграла имеет вид
.
Применим к нашему интегралу теорему о среднем
.
В пределе получим
.
Возвращаемся к первоначальной формуле Грина
. тсюда
.
В дальнейшем мы будем использовать эту фо...
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практическ...
Контрольная работа
№522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным услов...
Контрольная работа
№522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным услов...
Кривые второго порядка
Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация...
Кривые второго порядка на проективной плоскости
Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паск...