Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения
Краткое сожержание материала:
Содержание
- Иррациональные уравнения
- Числовая функция. Способы задания функции
- Основные свойства функции
- Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией
- Обратная функция
- Степенная функции, её свойства и графики
- Показательная функция, её свойства и графики
- Показательные неравенства
- Логарифмы и их свойства
- Логарифмические уравнения
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Функция y sinx ее свойства и график
- Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
- Частные случаи тригонометрических уравнений
- Тригонометрические уравнения
- Аксиомы стереометрии и следствия из них
- Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых
- Теорема о трех перпендикулярах
Алгебра
Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями.
Вещемственное, или действимтельное число - математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2] . Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные - из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.
Абсолютная погрешность и её граница.
Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено , считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины: . Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: Относительная погрешность и её граница.
Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.
Иррациональные уравнения
Уравнение, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 12= (-1) 2, 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.
Возведём обе части этого уравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; и подставим.
Комплексные числа. Действия над комплексными числами.
Коммплемксные чимсла - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y - вещественные числа, i - мнимая единица Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле - это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках - электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
Вычитание (a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d) i.
Умножение
Деление
Числовая функция. Способы задания функции
В математике числовая функция - это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств - как правило, множества действительных чисел или множества комплексных чисел .
Словесный: С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x) = x!
Графический С помощью графика Фрагмент графика функции .
Табличный: С помощью таблицы значений
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
y |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
|
Основные свойства функции
1) Область определения функции и область значений функции. Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f (x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции. Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции. Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = - f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f (x) | ? M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.7) Периодическость функции. Функция f (x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией
График функции - множество точек, у которых абcциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты...
Иррациональные уравнения
Понятие иррационального уравнения. Применение формул сокращённого умножения. Посторонние корни и причины их появления. Возведение обеих частей уравнен...
Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения
Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено , считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения...
Математическая энциклопедия абитуриента. Числа и многочлены
Состоит из трех глав. В первой рассматриваются действительные числа (признаки делимости, рациональные и иррациональные числа, числовые неравенства, ст...
Задачи с параметрами.
Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем.
М.:
АРКТИ, 2010 -
64 с.
В пособии приведены решения около 100 задач с
параметрами (иррациональные уравнения и неравенства, системы, задачи...
Математика
Содержание:1. Высказывания и операции над ними2. Множество, кортежи, комбинаторика3. Предикаты и теоремы4. Соответствия, отношения, отображения5. Коор...