Двойные интегралы

Понятие двойного интеграла, условия его существования, свойства и методы вычисления: сведение двойного интеграла к повторному для прямоугольной и криволинейной областей; двойной интеграл в полярных координатах; замена переменных; вычисление объемов тел.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Содержание

Введение

1. Двойные интегралы

1.1 Понятие двойного интеграла

1.2 Условия существования двойного интеграла

1.3 Свойства двойного интеграла

1.4 Сведение двойного интеграла к повторному

1.4.1 Случай прямоугольной области

1.4.2 Случай криволинейной области

1.4.3 Примеры вычисления двойных интегралов сведением к повторному

1.5 Замена переменных в двойном интеграле

1.6 Двойной интеграл в полярных координатах

1.7 Приложения двойных интегралов

1.8 Применение двойного интеграла для вычисления объемов тел

2. Две задачи на вычисление объемов тел

2.1 Задача 1

2.2 Задача 2

Заключение

Литература

Введение

Тема «Двойной интеграл» входит в программу изучения курса высшей математики по всех высших учебных заведениях.

Целью работы является

1. рассмотреть понятие двойного интеграла, его основные свойства,

2. изучить методы вычисления двойных интегралов,

3. показать примеры вычисления,

4. рассмотреть применение двойного интеграла для вычисления объемов различных тел,

5. решить две задачи на вычисление объемов тел.

1. Двойные интегралы

1.1 Понятие двойного интеграла

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой .

0 x

Размещено на

Размещено на

y

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область .

С гометрической точки зрения - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область на частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние , а по оси у - на . Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму



где f - функция непрерывная и однозначная для всех точек области .

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей , тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области .

С учетом того, что получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака , т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек , то, считая все площади одинаковыми, получаем формулу:



1.2 Условия существования двойного интеграла

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существует.

Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно - гладких линий, то двойной интеграл существует.

1.3 Свойства двойного интеграла

1) Если функции и интегрируемы в области , то интегрируемы в ней их сумма и разность , причем

2) Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

,

3) Если интегрируема в области , а эта область разбита на две непересекающиеся области и , то



4) Теорема о среднем. Если функция непрерывна в области , то в этой области найдется точка , что

,

где - площадь фигуры .

5) Если и интегрируемы в области , в которой , то

.

6) Если интегрируема в области , то также интегрируема в ней, причем

.

7) Если в области функция удовлетворяет неравенствам

, то

,

где - площадь фигуры .



1.4 Сведение двойного интеграла к повторному

1.4.1 Случай прямоугольной области

Теорема. Пусть для функции в прямоугольнике существует двойной интеграл .

Пусть, далее, для каждого из отрезка существует определенный интеграл .

Тогда существует интеграл

(он называется повторным) и справедливо равенство

Пример. Вычислить , где .

Решение:

.

1.4.2 Случай криволинейной области

Теорема. Пусть функция определена в области , где и - непрерывные функции, для . Пусть также существует двойной интеграл и для каждого из отрезка существует определенный интеграл

.

Тогда существует повторный интеграл

и справедливо равенство

.

Замечание. Если в теореме поменять ролями и , то теорема будет утверждать существование повторного интеграла

и равенства

.

Пример. Вычислить интеграл по области .

Решение. Область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой . Следовательно, .

.

1.4.3 Примеры вычисления двойных интегралов сведением к повторному

Пример 1. Вычислить интеграл , если область ограничена линиями: .

Решение:

02 x

Размещено на

Размещено на

4y

= .

Пример 2. Вычислить интеграл , если область ограничена линиями .

Решение.



Пример 3. Вычислить интеграл , если область интегрирования ограничена линиями .

Решение.

=

=

1.5 Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функция непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области . Тогда для функции существует двойной интеграл вида

.(1)

Предположим, далее, что с помощью формул

(2)

мы переходим к новым переменным и . Будем считать, что и определяются из (2) единственным образом:

.(3)

С помощью формул (3) каждой точке из области ставится в соответствие некоторая точка на координатной плоскости с прямоугольными координатами и . Пусть множество всех точек образует ограниченную замкнутую область . Формулы (2) называют формулами преобразования координат, а формулы (3) - формулами обратного преобразования.

При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2) имеют в области непрерывные частные производные первого порядка и если определитель отличен в от нуля,

(4)

то для интеграла (1) справедлива формула замены переменных

Определитель (4) называется функциональным определителем или Якобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций по переменным и .

Пример. Вычислить интеграл , где - параллелограмм, ограниченный прямыми .

Решение. Сделаем замену переменных: .

Прямые и в системе координат переходят в прямые в системе координат , а прямые и в прямые и . Параллелограмм взаимно однозначно преобразуется в прямоугольник , который является более простой областью интегрирования. Осталось вычислить Якобиан. Для этого выразим и через и : . Следовательно,

.

Окончательно получаем

.

1.6 Двойной интеграл в полярных координатах

В двойном интеграле перейдем к полярным координатам по формулам .

В этом случае Якобиан имеет вид:

Тогда

1.7 Приложения двойных интегралов

1. Площадь плоской области равна двойному интегралу от дифференциала площади , распространенному на область .

(5)

В прямоугольных декартовых координатах элемент площади выражается формулой , поэтому

(6)

Поскольку в криволинейных координатах элемент площади

,

где - Якобиан преобразования , переводящий область в область , то площадь

(7)

В частности в полярных координатах

(8)

2. Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - плоскостью и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из плоскости область , вычисляется по формуле

.(9)

3. Площадь гладкой поверхности выраж...