Математическое обоснование алгоритма вычисления интеграла. Принцип работы метода Монте–Карло. Применение данного метода для вычисления n–мерного интеграла. Алгоритм расчета интеграла. Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте–Карло.
Краткое сожержание материала:

3

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КУРСОВАЯ РАБОТА

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО

Выполнил:

Руководитель:

Саратов, 2009

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
• 1.1 Принцип работы метода Монте - Карло
• 1.2 Применение метода Монте - Карло для вычисления n - мерного интеграла.
• 1.3 Сплайн - интерполяция 8
• 1.4 Алгоритм расчета интеграла
• 2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
• 2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте - Карло.
• 2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел
• 2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел.
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является создание программного продукта для участия в конкурсе, проводимом группой компаний «Траст» по созданию программных разработок. Для реализации было выбрано следующее технической задание:

Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте - Карло.

Цель:

1) Реализация генератора случайных чисел для метода Монте - Карло.

2) Сравнение равномерного распределения и специально разработанного.

3) Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области.

Продукт:

1) Программный код в виде функции на языке С++ или Fortran .

2) Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции.

3) Обзор использованной литературы.

Для реализации данного технического задания был выбран язык C++. Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

1.1 Принцип работы метода Монте - Карло

Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте - Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка - одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.

Метод Монте - Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.

Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожидание от , то есть .

Таким образом, искомая величина определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее варианта случайной величины по формуле:

. (1)

Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение .

Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний.

Теория метода Монте - Карло изучает способы выбора случайных величин для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин.

1.2 Применение метода Монте - Карло для вычисления n - мерного интеграла.

Рассмотрим n - мерный интеграл

для . (2)

Будем считать, что область интегрирования , и что ограниченное множество в . Следовательно, каждая точка х множества имеет n координат: .

Функцию возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве : .

Воспользуемся ограниченностью множества и впишем его в некоторый n - мерный параллелепипед , следующим образом:

,

где - минимумы и максимумы, соответственно, - ой координаты всех точек множества : .

Доопределяем подынтегральную функцию таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда , которые не принадлежат :

(3)

Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде

. (4)

Область интегрирования представляет собой n - мерный параллелепипед со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами , которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда.

Обозначим через n-мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде : , где .

Тогда ее плотность вероятностей будет определена следующим образом

(5)

Значение подынтегральной функции от случайного вектора будет случайной величиной , математическое ожидание которой является средним значением функции на множестве :

. (6)

Среднее значение функции на множестве равняется отношению значения искомого интеграла к объему параллелепипеда :

(7)

Обозначим объем параллелепипеда .

Таким образом, значение искомого интеграла можно выразить как произведение математического ожидания функции и объема n- мерного параллелепипеда :

(8)

Следовательно, необходимо найти значение математического ожидания . Его приближенное значение можно найти произведя n испытаний, получив, таким образом, выборку случайных векторов, имеющих равномерное распределение на . Обозначим и . Для оценки математического ожидания воспользуемся результатом

, (9)

где ,

,

- квантиль нормального распределения, соответствующей доверительной вероятности .

Умножив двойное неравенство из (9) на получим интервал для I:

. (10)

Обозначим точечную оценку . Получаем оценку (с надежностью ):

. (11)

Аналогично можно найти выражение для относительной погрешности :

. (12)

Если задана целевая абсолютная погрешность , из (11) можно определить объем выборки, обеспечивающий заданную точность и надежность:

. (13)

Если задана целевая относительная погрешность, из (12) получаем аналогичное выражение для объема выборки:

. (14)

1.3 Сплайн - интерполяция.

В данном программном продукте реализована возможность задавать дополнительные ограничения области интегрирования двумя двумерными сплайн - поверхностями (для подынтегральной функции размерности 3). Для задания этих поверхностей используются двумерные сплайны типа гибкой пластинки \4\.

Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают агрегатную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения. Сплайн - функция имеет следующий вид:

. (15)

Исходные данные представляют собой троек точек .

Коэффициенты и определяются из системы:

, (16)

где ,

.

1.4 Алгоритм расчета интеграла

Реализованный алгоритм включает следующие шаги:

1) выбирается начальное значение , разыгрываются случайные векторы из и определяются и ;

2) в зависимости от вида погрешности (абсолютная, относительная) определяется достигнутая погрешность; если она меньше целевой, вычисление прерывается;

3) по формулам (13) или (14) вычисляется новый объем выборки;

4) объем выборки увеличивается на 20%

5) переход к шагу 1;

6) конец.

2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ