Высшая математика

Задачи на элементы теории вероятности и математической статистики. Решение систем линейных уравнений методом Крамера; методом Гаусса. Закон распределения дискретной случайной величены. Построение выпуклого многоугольника, заданного системой неравенств.
Краткое сожержание материала:

10

Контрольная работа

Высшая математика



ЗАДАЧА 1.

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды .

Найдите:

а) длину ребра ;

б) косинус угла между векторами и ;

в) уравнение ребра _;

г) уравнение грани С₁; если А₁ (-2,2,2),В₁(1,-3.0), С₁(6,2,4), D₁(5,7,-1).

Решение.

а) Найдем координаты вектора А₁В₁ по формуле

где - координаты точки А₁, -координаты точки В₁.

Итак ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда = =.

Итак, длина отрезка, (или длина векторе) равна . Это и есть искомая длина ребра.

б) Координаты ={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.

Угол между векторами и вычислим по формуле

cos ? = (А₁В₁, А₁С₁)

А₁В₁· А₁С₁

где скалярое произведение векторов А₁В₁ и А₁С₁ равно (,)=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,

=, ==.

Итак, cos ? = 20 = 10

·

в) Координаты точки А₁(-2,2,2) обозначим соответственно Х₀ = -2, У₀ = 2, Z₀ = 2, а координаты точки В₁(1,-3,0) через X₁ = 1, У₁ = -3, Z₁ = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

.

Следовательно, уравнение ребра имеет вид

.

г) Обозначим координаты векторов, и через Х₁=3, У₁= -5, Z₁= -2 и Х₂=8, У₂= 0, Z₂=2 соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

·A₁C₁ = {Y₁·Z₂-Y₂·Z₁;Z₁·X₂-Z₂·X₁;X₁·Y₂-X₂·Y₂} =

= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

Так как данный вектор перпендикулярен грани С₁, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х₀ У₀, Z₀) перпендикулярно вектору {А;В;С}, которое имеет вид A·(X-X₀)+B·(Y-Y₀)+С·(Z-Z₀)=0.

Подставим координаты точки А₁ (Хо= -2, У₀=2, Z₀=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:

- 10 ( X + 2 ) - 22 (У - 2) т 40 ( Z- 2) - 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены - 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани,C₁ имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0.



ЗАДАЧА 2.

Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решение.

а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр. 268).

Тогда , где

Так как ?x= -60; ?y= -60; ?z=60; ?= -120, то x=; y=; z=.

6) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

Составим расширенную матрицу данной системы.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид.

=

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на -3. и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

=

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

Данная матрица соответствует системе уравнений , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начинай с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как z== и yz=, то y ·

Отсюда, y-===. Из x-z=1 имеем =z+1=+1=

Ответ: x=, y=, z=.

Элементы теории вероятности и математической статистики

Для решения задачи 3 см. [5] глава 1. § 1--5.



ЗАДАЧА 3.

На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;

А) нет упаковок с бумагой более низкого качества,

Б) есть одна упаковка такой бумаги.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть

====13·9·28=3276 - числу сочетаний из 28 элементов по 3.

а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

====11·23·8=2024

искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

P₁==?0,62

б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковок бумаги ровно 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно выбрать из 24 упаковок: ====276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: ===4 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно ·=276·4=1104

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов p₂==?0,34

Ответ: а) p₁ =0,62; б) р₂ =0,34.

ЗАДАЧА 4.

Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим через А событие - «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H₁-лампочка поступила с первого завода, H₂-лампочка поступила со второго завода. Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно p(H₁)==0,25; p(H₂)==0,75.

Условная вероятность...