Вероятность наступления события
Краткое сожержание материала:
Размещено на
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет
Кафедра прикладной математической статистики
Контрольная работа по математике
Вариант 2
Выполнила
студентка гр. 3/10-4-вв,
Герасимова М.А.
Проверила
преподаватель Меньшенина А.В.
Нижний Новгород
2011г.
Задача 2.
Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Каждый билет содержит 2 вопроса программы. Найти вероятность того, что студент знает оба вопроса программы.
Решение:
Пусть событие А - благоприятный исход - студент знает оба вопроса программы, - общее число вопросов программы; - такое число вопросов знает студент; - число вопросов в билете; - необходимое число вопросов в билете, которое необходимо знать.
- число равновозможных элементарных исходов:
- число исходов, благоприятствующих событию А:
- вероятность благоприятного исхода.
Ответ:
Вероятность того, что студент знает оба вопроса программы, равна 0,557 (55,7%).
Задача 12.
Два студента ищут нужную книгу в магазинах. Вероятность того, что книга будет найдена первым студентом, равна 0,6, а вторым - 0,7. Найти вероятность того, что только один студент найдет книгу.
Решение:
- событие, при котором книгу найдет первый студент; - событие, при котором книгу найдет второй студент; - событие, противоположное событию , при котором первый студент не найдет книгу; - событие, противоположное событию , при котором второй студент не найдет книгу; - вероятность того, что книга будет найдена первым студентом; - вероятность того, что книга будет найдена вторым студентом; - - вероятность события, противоположного событию . - - вероятность события, противоположного событию .
Событие А, состоящее в том, что только один студент найдет книгу, может быть представлено следующими случаями:
- книгу найдет первый студент, а второй не найдет;
- книгу найдет второй студент, а первый не найдет; Тогда событие А можно представить в виде суммы несовместных событий: , а вероятность наступления события А как:
Ответ:
вероятность того, что только один студент найдет книгу, равна 0,46 (46%).
Задача 22.
Вероятность выполнить работу без ошибок для 10-ти студентов равна 0,95, для других 15-ти студентов - 0,7, для остальных 3-х - 0,2. Преподаватель берет наудачу одну тетрадь для проверки. Какова вероятность того, что работа выполнена без ошибок?
Решение:
- выполнение взятой наугад работы без ошибок - составляют полную группу событий, примем эти события за гипотезы, их вероятности равны
.
Условные вероятности события А - выполнение взятой работы без ошибок - следующие:
По формуле полной вероятности получим:
Ответ:
вероятность того, что взятая наугад работа выполнена без ошибок, равна 0,7357 (73,57%).
Задача 32.
Найти вероятность того, что при 4-х подбрасываниях игральной кости выпадет хотя бы один раз четное число очков.
Решение:
А - событие, при котором выпадает четное число очков игральной кости; - число испытаний; - повторение события, т.е. выпадение четного числа очков хотя бы 1 раз; - вероятность того, что выпадет четное число очков (т.к. 3 из 6 граней игральной кости с четным числом очков); - вероятность того, что выпадет нечетное число очков; - вероятность того, что четное число очков не выпадет ни разу; - четное число очков выпадет хотя бы 1 раз.
По формуле Бернулли рассчитаем вероятность того, что четное число очков не выпадет ни разу из 4-х подбрасываний:
Вероятность того, что четные очки выпадут хотя бы 1 раз, равна:
Ответ:
вероятность того, что при 4-х подбрасываниях игральной кости выпадет хотя бы 1 раз четное число очков, равна 0,9375 (94%).
Задача 42.
Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется бракованных:
· 8;
· менее 8.
Решение:
А - событие, при котором наблюдается производство бракованных деталей; - вероятность производства бракованной детали; - число испытаний; - число повторений события, при котором наступит брак;
Рассчитаем параметр - среднее число событий в серии из -испытаний: - в среднем на 1000 деталей приходится 8 бракованных; - условие выполняется, т.е. можно использовать для решения формулу Пуассона ;
-
вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 8 бракованных;
- вероятность того, что среди 1000 деталей бракованных будет менее 8 бракованных.
Ответ:
вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 8 бракованных равна 0,139; менее 8 бракованных - 0,453.
Задача 52.
При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных.
Решение:
- вероятность изготовления годных клемм; - вероятность изготовления негодных клемм; - число испытаний; А- событие - производство годных клемм; - число повторений события А;
Вероятность события А по интегральной формуле Лапласа будет равна:
где
Используя таблицу значений функций Лапласа, найдем соответствующие значения: .
Подставим полученные значения в интегральную формулу Лапласа: - вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных.
Ответ:
вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных равна 0,8533 (85%).
Задача 62.
вероятность событие математический ожидание
Даны результаты наблюдений случайной величины Х.
1. Построить полигон, гистограмму, эмпирическую функцию распределения.
2. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины.
3. Задаваясь доверительной вероятностью , найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.
4. Задаваясь уровнем значимости , проверить гипотезу о нормальном законе распределения с помощью критерия Пирсона.
50 |
54 |
58 |
63 |
68 |
73 |
78 |
75 |
74 |
|
84 |
56 |
59 |
64 |
69 |
74 |
79 |
65 |
70 |
|
90 |
85 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
69 |
||
75 |
86 |
61 |
66 |
71 |
76 |
81 |
66 |
||
76 |
71 |
62 |
67 |
72 |
77 |
82 |
65 |
||
77 |
72 |
71 |
64 |
68 |
73 |
80 |
69 |
Решение:
Подсчитаем объем выборкии по формуле Стрэджеса определим оптимальное число интервалов группировки данных: . Примем , тогда ширина каждого интерва...
Теория вероятностей
Типы событий и их общая характеристика: достоверные, невозможные и случайные. Вероятность как количественная характеристика степени возможности наступ...
Классическое определение вероятности
Достоверное событие — это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью. Классическая вероятностная схема. Вероятность наступ...
Теория вероятностей и математическая статистика
Анализ случайных явлений, статистическая обработка результатов численных экспериментов. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Решени...
Вероятность случайного события
Как видим наступление случайного события в результате испытания, вообще говоря, нельзя предсказать заранее в принципе. Этот факт – непредсказуемость н...
Управление рисками на уровне предприятия
История развития и понятие рисков, их классификация и виды. Вероятность наступления неблагоприятного события. Стимулирующая и защитная функции риска....