Векторний метод в шкільному курсі геометрії

Методика введення основних понять теми, розв’язування задач векторним методом. Вибір тем, які легко викладаються з використанням векторного метода. Доведення теорем векторним методом. Виділення вмінь, необхідних для успішного оволодіння методом.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Міністерство освіти і науки України

Криворізький державний педагогічний університет

Кафедра математики

Курсова робота з математики

Векторний метод в шкільному курсі геометрії

Студентки ІV курсу

фізико-математичного факультету

Шевчик Вікторії Сергіївни

Науковий керівник

к.п.н., доцент Лов'янова І.В

Кривий Ріг 2007 р.

ВСТУП

Розділ І. Теоретичні відомості про векторний метод

1. Історичні відомості. Аксіоматика Вейля.

2. Суть векторного метода в шкільному курсі геометрії.

3. Методика введення основних понять теми.

4. Методика розв'язування задач векторним методом.

5. Доведення теорем векторним методом.

Розділ ІІ. Практичні застосування векторного метода в шкільному курсі геометрії

1. Вибір тем, які легко викладаються з використанням векторного метода.

2. Розробка конспектів уроків на використання векторного методу.

Висновки

Список використаних джерел

Додатки

ВСТУП

Сучасні потреби суспільства вимагають переходу на нову, більш гнучку стратегію математичної освіти, ніж нинішня. Навчання математики на всіх ступенях повинно мати розвиваючий характер і прикладну спрямованість: розвиток інтелекту, алгоритмічної культури, математичної інтуїції, вміння і бажання вчитися і застосовувати свої знання для розв'язування практичних і прикладних задач.

В геометрії застосовуються різні методи розв'язку завдань - це синтетичний (чисто геометричний) метод, метод перетворень, векторний метод, метод координат і інші. Вони займають різне положення в школі. Основним методом уважається синтетичний, а з інших найбільш високе положення займає метод векторний тому, що він тісно пов'язаний з лінійною алгеброю, аналітичною та диференціальною геометрією, вивчення векторів тісно пов'язані меж предметними зв'язками з вивченням курсу фізики. Нажаль традиційно у учнів школи відкладається враження , що вектор це фізичне поняття, але вектор насправді є суто математичним поняттям, яке застосовують при розв'язку задач прикладних наук, для простоти розв'язку деяких складних задач.

Векторний метод ефективний при доведенні паралельних прямих і відрізків; при поділі відрізка даною точкою в указаному відношенні; при з'ясуванні належності трьох точок одній прямій; при доведенні перпендикулярності прямих і відрізків; при доведенні залежностей між довжинами відрізків; при знаходженні величини кута.

Для визначення змісту вправ, які формують вміння застосовувати вектори необхідно виділити дії, адекватні цій діяльності. Використання векторного методу у вказаних вище ситуаціях припускає володіння наступними вміннями: переклад геометричної мови на векторну і навпаки (здійснювати перехід від співвідношення між фігурами до співвідношення між векторами і навпаки); виконувати операції над векторами (знаходити суму, різниці векторів; добуток вектора на число; скалярний добуток векторів); зображувати вектор у вигляді суми векторів, різниці векторів; зображувати вектор у вигляді добутку вектора на число; перетворювати векторні рівності; переходити від співвідношення між їх довжинами і навпаки; виражати довжину вектора через його скалярний квадрат; виражати величину кута між векторами через їх скалярний добуток.

Можна із упевненістю говорити про те, що вивчення даного методу є невід'ємною частиною шкільного курсу геометрії. Але не можна забувати, що при розв'язку завдань векторним методом необхідна навичка алгебраїчних обчислень і потрібна високий ступінь кмітливості, а це у свою чергу позначається на творчих здібностях учнів. Цим і визначається актуальність обраної теми: "Вивчення методу координат у шкільному курсі геометрії основної школи".

Об'єкт дослідження даної роботи - це процес вивчення учнями геометрії.

Предметом дослідження є вивчення методу векторів у курсі геометрії основної школи.

Ціль роботи - розробити методику вивчення й використання методу векторів у шкільному курсі геометрії.

Гіпотеза: вивчення векторного метода в школі буде більш ефективно, якщо:

в 5-6 класі проведена пропедевтична робота з учнями, по формуванню основних умінь і навичок;

- у системному курсі планіметрії учні знайомляться зі структурою цього методу;

- використовується продумана система завдань для формування окремих компонентів методу.

Предмет, ціль і гіпотеза дослідження визначають наступні завдання:

1. Аналіз варіантів вивчення векторного метода у деяких з діючих підручників, а також зміст програми по математиці по даній темі.

2. Опис векторного метода і способів його застосування на прикладі конкретних математичних завдань.

3. Виділення вмінь, необхідних для успішного оволодіння методом і добір завдань, що формують дані вміння.

4. Досвідчена перевірка.

Для досягнення цілей роботи, перевірки гіпотези й розв'язку поставлених вище завдань були використані наступні методи:

* аналіз програми по математики, навчальних посібників, методичних матеріалів, що стосуються векторного метода;

* спостереження за ходом освітнього процесу, за діяльністю учнів.

Основною досвідченою базою була Криворізька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №11.

РОЗДІЛ І. Теоретичні відомості про векторний метод

1. Історичні відомості. Аксіоматика Вейля

У цей час відоме кілька різних шляхів аксіоматизації елементарної геометрії. Історично однієї з перших була аксіоматика, запропонована на рубежі XIX і XX сторіч Гильбертом. У нього до невизначуваних понять належать "крапка", "пряма", "площина" і ін. За допомогою аксіом і невизначуваних понять уводяться подальші (обумовлені) поняття й доводяться теореми. Пізніше були "сконструйовані" інші аксіоматики геометрії, що відрізняються друг від друга не тільки самим списком, а також і переліком невизначених понять. Інші шляхи аксіоматичної побудови буди зроблені І. Шуром, Дж. Биркгофом та іншими математиками. Вектори та операції над ними вивчаються, за аксіоматикою цих вчених, у кінці курсу як підсумок побудови геометрії.

Самим коротким шляхом аксіоматизації геометрії є шлях, запропонований в 1917 році - року найбільших революційних здійснень - Германом Вейлем. Ідея Вейля полягала в тому, що векторні простори, які усе більш проникають у різні розділи математики і її додатків, повинні органічно ввійти в курс елементарної геометрії. Поняття "пряма", "площина", "конгруентність" і ін. Вейль виключив із числа первісних, побравши замість них у якості невизначуваних інші поняття: "вектор", "сума векторів", "добуток вектора на число", "скалярний добуток векторів", "відкладання вектора від крапки". З формальної сторони це лише один з можливих шляхів аксіоматизации геометрії, еквівалентний гильбертовскому, тобто, що дозволяє довести ті ж самі теореми. Але з методологічної точки зору вейлевский шлях є незмірно більш цінним. Замість скрупульозного, стомлюючого й довгого ланцюжка міркувань по гильбертовской схемі (до того ж відірваної від інших розділів математики й від природничих наук) вейлевская схема дає винятково ясний і короткий виклад, насичений сучасними ідеями і близькою до найактуальнішими розділами математики, фізики, економіки, та інших сфер знання. З логічної точки зору вейлевский шлях побудови аксіоматизації є, еквівалентний гильбертовскому, так як доводила ті самі теореми геометрії. Та з точки зору викладання його побудова геометрії має значні переваги. Вейлевське викладання геометрії - найбільш сучасне в з точки зору науки, воно дає нам змогу познайомитися з поняттям векторного простору, яке має важливу роль не тільки в математиці, але і в фізиці, хімії, економіці. Вейлевське трактування дозволяє володіти більш ефективним векторним методом рішення задач просторової геометрії, також найбільш локальним та простим.

Вейлімська аксіоматика включає сімнадцять аксіом, поєднаних між собою в п'ять груп.

Ідея вектора - одна з фундаментальних ідей сучасної математичної науки та її застосувань. На векторній основі зараз будуються лінійна алгебра, аналітична і диференціальна геометрія, теорія багатовимірних просторів. Вектори широко застосовуються в сучасній фізиці, технічних науках. Тому природно, що в 50-х роках XX ст. на початку всесвітнього руху за реформу шкільної математичної освіти у всіх розвинутих країнах була висловлена одностайна думка - впровадити ідею вектора в шкільну математику. При цьому пропонувалося два підходи.

1. Крайні модерністи (Ж. Дьєдонне, Л. Фелікс, Г. Шоке) наполягали на тому, щоб зробити ідею вектора базисною ідеєю шкільного курсу і, зокрема, курс геометрії будувати на основі ідеї векторного простору, наприклад, використовуючи аксіоматику Вейля.

2, У колишньому СРСР А. М. Колмогоров, О. І. Маркушевич, які очолювали перебудову змісту шкільної математичної освіти, дотримувались поміркованого підходу і пропонували не розглядати ідею вектора як базисну і не будувати навіть певний розділ геометрії на векторній основі. Разом з тим передбачалось ввести поняття вектора і. необхідний апарат векторної алгебри із загальноосвітньою метою та використовувати вектори як апарат для доведення теорем і розв'язування...