Будова ідеалів півкільця натуральних чисел

Узагальнення поняття теорії кілець. Будова півкільця натуральних чисел. Довільний ідеал півкільця натуральних чисел. Теорії напівгруп та константи Фробениуса. Система відрахувань по модулю. База методу математичної індукції. Текст програми "FindC".
Краткое сожержание материала:

Курсова робота

Будова ідеалів півкільця натуральних чисел

Зміст

Введення

Розділ 1. Структура ідеалів в

1.1 Базові поняття й факти

1.2 Опис ідеалів в

Розділ 2. Константа Фробениуса

Додаток 1. Опис алгоритму роботи програми за допомогою блок-схем

Додаток 2. Повний текст програми "FindC"

Бібліографічний список

Введення

Теорія півкілець - один з розділів загальної алгебри, що є узагальненням теорії кілець. Вагомий внесок у її вивчення й розвиток внесли Е.М. Вечтомов і В.В. Чермних. Великий інтерес для вивчення являє собою півкільце натуральних чисел зі звичайними операціями додавання й множення. Його роль у теорії півкілець приблизно така ж, як і кільця цілих чисел у теорії кілець. Питанню будови півкільця натуральних чисел присвячена глава в книзі В.В. Чермних "Півкільця" [6].

Метою даної роботи є дослідження півкільця натуральних чисел і його будови. Більш точно з'ясовується питання, як улаштовані ідеали цього півкільця, а також здійснюється відшукання або визначення границь розташування константи Фробениуса для деяких ідеалів.

Курсова робота складається із двох глав. У главі 1 представлені основні визначення й теореми, пов'язані з півкільцем натуральних чисел, і даний опис його ідеалів. Розділ 2 присвячена дослідженню проблеми знаходження константи Фробениуса.

Розділ 1. Структура ідеалів в

1.1 Базові поняття й факти

Визначення 1. Непуста множина S з бінарними операціями "+" і "(" називається півкільцем, якщо виконуються наступні аксіоми:

(S, +) ( комутативна напівгрупа з нейтральним елементом 0;

(S, () ( напівгрупа з нейтральним елементом 1;

множення дистрибутивні щодо додавання:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc для будь-яких a, b, c ( S;

0a = 0 = a0 для будь-якого a( S.

По цьому визначенню півкільце відрізняється від асоціативного кільця з одиницею відсутністю операції вирахування, і саме це викликає основні труднощі при роботі з півкільцями.

Нескладно показати, що множина натуральних чисел зі звичайними операціями додавання й множення при допущенні, що , є півкільцем.

Визначення 2. Непуста підмножина I півкільця S називається лівим ідеалом півкільця S, якщо для будь-яких елементів елементи a+b і sa належать I. Симетричним образом визначається правий ідеал. Непуста підмножина, що є одночасно лівим і правим ідеалом, називається двостороннім ідеалом або просто ідеалом півкільця S.

У силу комутативності операції множення в півкільці всі ідеали є двосторонніми, надалі будемо називати їх просто ідеалами.

Ідеал, відмінний від півкільця S, називається власним.

Визначення 3. У півкільці S найменший із всіх ідеалів, що містять елемент , називається головним ідеалом, породженим елементом a.

Відомо, що кільце цілих чисел є кільцем головних ідеалів. Ідеали в не обов'язково є головними, але всі вони звичайно породжені. Головні ідеали в будемо позначати aN, де a - елемент, що породжує ідеал.

Визначення 4. Ідеал комутативного півкільця називається звичайно породженим, якщо найдеться кінцева множина елементів таких, що

Теорема 1. Довільний ідеал півкільця натуральних чисел звичайно породжений.

Доказ. Нехай - довільний ідеал з , - його найменший ненульовий елемент. Виберемо, якщо можливо, найменший елемент із N. У загальному випадку на черговому кроці будемо вибирати найменший елемент із множини . Помітимо, що обирані елементи зобов'язані бути непорівнянними по модулі . Із цієї причини процес вибору буде кінцевим, і на деякому кроці одержимо

Визначення 5. Нехай - ідеал півкільця натуральних чисел. Множина елементів з назвемо системою утворюючого ідеалу, якщо й ніякий елемент системи утворюючих не можна представити у вигляді комбінації з ненегативними коефіцієнтами інших елементів системи.

Очевидно, що для будь-якого ідеалу система утворюючих визначається однозначно. Множина елементів , побудована в доказі теореми 1, є системою утворюючих.

Якщо мається на увазі конкретна система утворюючого ідеалу, то будемо зображувати неї в круглих дужках, наприклад: (2,3)={0,2,3,4,…}=\{1}...

Аналог теореми Гильберта про базис, що затверджує, що якщо R - комутативне кільце, кожний ідеал якого звичайно породжений, те будь-який ідеал кільця багаточленів над R є звичайно породженим, невірна в класі півкілець, і прикладом тому служить півкільце . Як установлено, ідеали у звичайно породжені. Покажемо, що цією властивістю не володіє півкільце [x]. Нехай I - множина всіх багаточленів ненульового ступеня над . Ясно, що I ? ідеал. Кожної з багаточленів x, x+1, x+2,..., не можна нетривіальним образом представити у вигляді суми багаточленів з I, виходить, всі ці багаточлени необхідно лежать у будь-якій системі утворюючого ідеалу I. Таким чином, I не є звичайно породженим, і напівкільцевий аналог теореми Гильберта не вірний.

Теорема 2. Нехай ? система утворюючого ідеалу півкільця . Починаючи з деякого елемента , всі елементи ідеалу утворять арифметичну прогресію з різницею , що є найбільшим загальним дільником чисел .

Доказ. Нехай ? НОД всіх представників системи утворюючого ідеалу . По теоремі про лінійне подання НОД для деяких цілих . Покладемо ? максимум з абсолютних значень чисел . Тоді елементи й лежать в ідеалі . Очевидно, що ? найменше натуральне число, на яке можуть відрізнятися два елементи ідеалу , і . Позначимо . Нехай , для деяких цілих , і одне з них, допустимо , непозитивне. У такому випадку розглянемо число з такими досить більшими натуральними коефіцієнтами , щоб для будь-якого цілого виконувалося . Тоді для будь-який такий елемент



лежить в. Таким чином, починаючи з елемента , ми маємо арифметичну прогресію в точності з елемента, що лежать в ідеалі , причому перший і останній елементи відрізняються на . Додаючи до кожного із цих елементів, починаючи з , число , ми одержимо наступних елементів цієї ж прогресії. Таку процедуру можна повторювати як завгодно довго, одержуючи елементи прогресії, мабуть, що лежать в ідеалі . Показали, що, принаймні, із числа всі елементи ідеалу утворять арифметичну прогресію.

Наслідок 1. Нехай ? довільний ідеал півкільця . Існує така кінцева множина елементів з , що є головним ідеалом.

Наслідок 2. Якщо система утворюючого ідеалу півкільця складається із взаємно простих у сукупності чисел, те, починаючи з деякого елемента, всі наступні натуральні числа будуть належати ідеалу .

Зауваження. Нехай , і . Між ідеалами й , породженими системами утворюючих і відповідно, існує простий зв'язок, а саме: складається із всіх елементів ідеалу , помножених на число . Тим самим, вивчення ідеалів півкільця натуральних чисел зводиться до ідеалів із взаємно простою системою утворюючих. Надалі будемо вважати, що утворюючого ідеалу в сукупності взаємно прості й занумеровані в порядку зростання.

Теорема 3. У півкільці всяка строго зростаючий ланцюжок ідеалів обривається.

Доказ. Нехай ? зростаючий ланцюжок в. Тоді ? звичайно породжений ідеал з утворюючими . Кожний лежить у деяких ідеалах з ланцюжка, виходить, найдеться ідеал з ланцюжка, що містить всі елементи . Одержуємо , отже, ? останній ідеал у нашім ланцюжку.

З доведеної теореми робимо висновок про те, що досліджуване півкільце натуральних чисел є нетеровим.

1.2 Опис ідеалів в

Визначення 6. Власний ідеал P комутативного півкільця S називається простим, якщо або для будь-яких ідеалів A і B.

Теорема A. Якщо S - комутативне півкільце, то ідеал P простий тоді й тільки тоді, коли тягне [6].

Простими ідеалами в є, мабуть, нульовий ідеал і ідеали p . Ідеал, породжений складеним числом, не може бути простим. Більше того, якщо складене число n=ab є елементом системи утворюючого ідеалу I, те елементи a,b не лежать в ідеалі I, і отже, I не простий. Таким чином, система утворюючого простого ідеалу може складатися тільки із простих чисел.

Нехай P - простий ідеал в , що не є головним, і ? елементи з його системи утворюючих. Оскільки й взаємно прості, то по другому наслідку теореми 2 всі натуральні числа, починаючи з якогось, лежать в ідеалі P. Виходить, P містить деякі ступені чисел 2 і 3. У силу простоти ідеалу P, 2 і 3 будуть лежати в P. Ідеал, породжений числами 2 і 3, є єдиним простим ідеалом, що не є головним.

Таким чином, простими ідеалами півкільця є наступні ідеали, і тільки вони:

нульовий ідеал;

головні ідеали, породжені довільним простим числом;

двохпороджений ідеал (2,3).

Визначення 7. Власний ідеал M півкільця S називається максимальним, якщо тягне або для кожного ідеалу A в S.

Теорема Б. Максимальний ідеал комутативного півкільця простий.[6]

У нульовий ідеал і ідеали, породжені довільним простим числом, не є максимальними, тому що включені в ідеал (2,3), що не збігається з ними й с. Таким чином, максимальним є двохпорджений ідеал (2,3) - найбільший власний ідеал в.

Множина простих ідеалів можна впорядкувати в такий спосіб:

Тут...