Определение и структурные уравнения аффинной связности. Экспоненциальные отображения в теории пространств. Ковариантное дифференцирование и классические формулировки. Аффинное пространство n измерений. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Поволжская государственная социально-гуманитарная академия»

(ПГСГА)

Факультет математики, физики и информатики

Кафедра математики и методики обучения

Курсовая работа по геометрии

Аффинная связность



Введение

Данная курсовая работа посвящена теории пространств аффинной связности, которые содержат в себе как частный случай пространства метрической и евклидовой связности. Термин «аффинная связность» заимствован у Вейля В его книге Raum, Zeit, Materie., но он употребляется здесь в более общем значении. Пространство аффинной связности является многообразием, которое в непосредственной близости каждой точки имеет все свойства аффинного пространства, и для которого установлен закон соответствия областей,- окружающих две бесконечно близкие точки: это значит, что если в каждой точке задана декартова система координат с началом в этой точке, то известны формулы преобразования (той же природы, что и в аффинном пространстве), позволяющие переходить от одной системы отнесения к любой другой, имеющей начало в бесконечно близкой точке. В теории Вейля это соответствие ограничено априори требованием, чтобы в окрестности каждой точки существовала система координат, которую он называет геодезической, хотя логическая необходимость этого требования не является очевидной. Разница, существующая между многообразием аффинной связности и собственно аффинным пространством, выражается в аффинном перемещении, соответствующем бесконечно-малому замкнутому контуру; это перемещение можно разложить на трансляцию и вращение; трансляция определяет кручение, вращение-- кривизну многообразия. В теории Вейля кручение равно нулю. Все эти понятия переносятся на пространства метрической и евклидовой связности; классическая теория римановых пространств является не чем иным, как теорией многообразий евклидовой связности и нулевого кручения; эта теория служит основой общей теории относительности, созданной Эйнштейном.



1. Аффинные связности

1.1 Определения

Пусть М -- многообразие, В(М)--его расслоение базисов. Связность на В (М) называется аффинной связностью. Поскольку всякую связность на подрасслоении расслоения В(М) можно продолжить до аффинной связности с помощью правого действия группы GL(d, R), то такая связность также называется аффинной связностью.

Параллельный перенос в расслоении В(М), заданный аффинной связностью, порождает параллельный перенос в касательном расслоении, или параллельный перенос касательных вдоль кривых.

Если г -- кривая в М и , то параллельный перенос касательной t вдоль г в точку n= г (u) происходит следующим образом: пусть г -- единственный горизонтальный подъем кривой г, проходящий через, где . Тогда если г(S) = (г(S), и , то является, по определению, параллельным переносом t. Легко проверить, в силу инвариантности связности относительно правого действия, что это преобразование не зависит от выбора b над m.

На В(М) всегда определены некоторые горизонтальные 1-формы, не зависящие ни от какой связности на этом расслоении. Определим l-формы смещения следующим образом. Пусть , где .

Тогда

Иначе, эти можно рассматривать как одну -значную 1-форму щ вида

Лемма 1. Форма смещения удовлетворяет следующим условиям:

,

(II) щ горизонтальна,

(III) щ эквивариантна, т. е. для каждого

,

причем в правой части g считается действующим слева в .

Доказательство (II) очевидно. Для доказательства (III) возьмем

Имеем

Далее,

так что



Отсюда , как и утверждалось.

Доказательство свойства (I) прямое. Пусть y_i, y_jk-- координаты произведения на координатной окрестности в В(М). Нам нужно показать, что и принадлежат . В силу (II), , поэтому надо рассмотреть лишь . Но

,

где . Следовательно,

Ч.Т.Д.

Формой кручения Щ аффинной связности H на В(М) называется -значная 2-форма

Легко проверить, что Щ -- горизонтальная С°°-форма, являющаяся эквивариантной, т.е.

Свяжем теперь формы кривизны и кручения с базисными векторными полями данной связности. Лемма 2. Пусть . Тогда



,

т. е. кривизна и кручение оказываются вертикальной и горизонтальной составляющими скобки двух базисных векторных полей.

Доказательство. Покажем, что щ и ц, примененные к обеим частям равенства, дают одну и ту же функцию; этого достаточно, поскольку щ и ц -- параллелизующие формы, т. е. двойственны к множеству параллелизующих векторных полей. Вычисление правой части нетрудно, поскольку вертикально, а Е (z) горизонтально:

Чтобы применить ц и щ к левой части, воспользуемся инвариантными формулами для внешних производных .

1.2 Структурные уравнения аффинной связности

Пусть З -- аффинная связность на В(М). Пусть ц, щ, Ц, Щ -- ее 1-форма связности, форма смещения, форма кривизны и форма кручения соответственно.

Теорема. Имеют место равенства



Эти равенства называются первым и вторым структурными уравнениями связности.

Доказательство. Второе структурное уравнение -- это просто структурное уравнение для связности на главном расслоении. Для вывода первого структурного уравнения докажем следующий более общий результат.

Теорема. Пусть и есть -значная эквивариантная горизонтальная p-форма на В(М), тогда

Доказательство. Мы вычисляем обе части равенства на векторных полях , взятых из совокупности векторных полей, локально порождающих касательное пространство к В(М). Рассмотрим те же случаи, что и прежде.

(I) Никакое У_i- не вертикально. Можно предположить, что все Y_i горизонтальны. Но тогда член ци обращается в 0 и остается вспомнить определение Dи.

(II) Одно Х_i вертикально. Предположим, что Х_с+1=лЧ, . Как и раньше, выберем правоинвариантные горизонтальные У_i так, что [Х_i,лЧ]=0, i=1,…,р. Тогда,

Представим ц как матричную операцию на R^d, получим



С другой стороны, Dи(Y_i, ..., Х_с, лЧ)=0, так как Dи горизонтально, поэтому правая часть дает -

Таким образом, обе части равенства приводят к одинаковым результатам.

(III) Два из Y_i вертикальны. В этом случае все обращается в нуль, и равенство выполняется автоматически. Ч. Т. Д.

1.3 Экспоненциальные отображения

Экспоненциальное отображение в точке -- это некоторое отображение окрестности U нуля пространства М_m в многообразие М

Для тех , для которых определено, оно задается следующим образом. Пусть геодезическая г в М (однозначно) определена условиями г(0)=m, г_* (0) = t. Тогда

Заметим, что при вещественном u, если только г(u) существует. Область определения - это открытое подмножество в М_m, звездное относительно в том смысле, что вместе со всякой своей точкой t оно содержит и весь отрезок прямой от 0 до t.

Кроме этого экспоненциального отображения рассмотрим также некоторый подъем в В(М). Для c определим , где - единственный горизонтальный подъем кривой г через b.

Так как г -- геодезическая, то -- интегральная кривая поля Е(х), где bx= г_* (0) = t .

Мы покажем, что, так чтo . Отсюда немедленно следует, что ехр_m осуществляет диффеоморфизм своей области определения на окрестность точки m, так как образом d exp_m служит все М_m: действительно, если -- базис в М_m, а -- сопряженный базис, то причем размерности М_m и М одинаковы.

Теорема.

Доказательство. Проведем его в несколько более общем виде. Рассмотрим аффинное расслоение А (М) над М, т. е. расслоение, пространство которого состоит из пар , а проекцией служит. Это многообразие с очевидной дифференцируемой структурой. Определим отображение

аффинный связность экспоненциальный отображение

равенством



Каждое дает векторное поле на В(М). Очевидно, F есть С°°-отображение. В силу теорем из приложения о дифференциальных уравнениях, существует С°°-отображение G окрестности в В(М), заданное формулой G(u, b, с, t)= г(u), где г -- интегральная кривая поля с г(0)=b. Тогда

Следствие. Отображение вида

определено на некоторой окрестности тривиального сечения расслоения Т(М) и принадлежит С°°.

Доказательство. Пусть, выберем С°°-сечение ч над окрестностью m в В(М). Тогда на этой окрестности отображение

в принадлежит С°° и

Аффинная связность называется полной, если все геодезические можно неограниченно продолжать, т. е....