Асимптотична поведінка важкої дифузійної частинки в потоці Арратья

Еволюція важкої частинки в системі броунівських частинок зі склеюванням. Асимптотичні властивості важкої частинки. Вживання системи стандартних вінерівських процесів. Економічні, соціальні та правові основи забезпечення безпеки у надзвичайних ситуаціях.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Зміст

Вступ

Розділ 1. Асимптотична поведінка важкої дифузійної частинки

1.1 Система броунівських частинок зі склеюванням

1.2 Еволюція важкої частинки в системі броунівських частинок зі склеюванням

1.3 Асимптотичні властивості важкої частинки

Розділ 2. Охорона праці та безпека у надзвичайних ситуаціях

2.1 Правові, економічні і соціальні основи охорони праці

2.2 Поняття та види надзвичайних ситуацій. Правові основи забезпечення безпеки у надзвичайних ситуаціях

2.3 Санітарно-технічні норми роботи з комп'ютерною технікою

Висновки

Список літератури

Вступ

Дана модель взаємодіючих частинок є схемою до моделей, які вивчались Arratia R. [1] і Конаровським В.В. [4]. У роботі [1] побудовано систему броунівських частинок, що стартують з усіх точок числової прямої, рухаються незалежно до моменту зустрічі, потім склеюються і рухаються разом. Основною відмінністю є те, що у роботі розглядається наступна модель взаємодіючих частинок на прямій. Частинки стартують з цілих точок прямої, рухаються незалежно одна від одної до моменту зустрічі, потім склеюються і рухаються разом. Кожна частинка, яка стартувала не з початку координат, рухається як броунівська (не змінюючи своєї дифузії) до моменту зустрічі з частинкою, що стартувала з нуля. Частинка, яка стартувала з нуля, має масу і ця маса в момент часу рівна кількості частинок, що приклеїлись до неї до часу . Крім того коефіцієнт дифузії цієї частинки обернено пропорційно залежить від маси. Дану модель можна інтерпретувати наступним чином: ми поміщаємо в потік Арратья [1] важку частинку, яка при склеюванні з іншими частинками “сповільнює” свій рух (дифузія зменшується).

Дана курсова робота складається з двох розділів. Перший розділ складається з трьох пунктів. У першому пункті побудовано систему процесів, яка описує еволюцію броунівських частинок, що стартували з цілих точок числової прямої, рухаються незалежно до моменту зустрічі, потім склеюються і рухаються разом. У другому пункті використовуючи побудовану систему вінерівських процесів із склеюванням (див. теорема 1) побудовано сукупність процесів, що описує поведінку даної системи процесів зі склеюванням. У третьому пункті досліджено асимптотичні властивості випадкового процесу . Зокрема встановлено закон повторного логарифму та доведено, що випадкові процеси склеюються за скінченний час. Другий розділ даної роботи присвячений охороні праці та безпеки у надзвичайних ситуаціях.

Розділ 1. Асимптотична поведінка важкої дифузійної частинки

1.1 Система броунівських частинок зі склеюванням

У даному пункті буде побудовано систему процесів, яка описує еволюцію броунівських частинок, що стартували з цілих точок числової прямої, рухаються незалежно до моменту зустрічі, потім склеюються і рухаються разом.

Основним результатом даного пункту є наступна теорема.

Теорема 1. Існує система випадкових процесів , яка задовольняє наступні властивості

1) для довільного , ? вінерівський процес, що стартував з і має дифузію 1;

2) для довільних і ;

3) для довільних і

,

Де .

Причому умови 1) - 3) однозначно визначають розподіл у просторі .

Доведення. Дану систему процесів побудуємо конструктивно, використовуючи систему стандартних вінерівських процесів. Отже, нехай ? сукупність стандартних вінерівських процесів. Покладемо , .

Далі, для по індукції визначимо систему процесів , , наступним чином

частинка броунівська склеювання асимптотичний



Аналогічно визначимо систему процесів ,

.

Доведемо, що система задовольняє умови теореми.

Позначимо

Тоді для

Використовуючи (1) і співвідношення

,

,

Аналогічно і для

,

Далі з (1) та (2) маємо, що ,

Отже, задовольняє властивість 3) даної теореми.

Далі покажемо, що для довільного ? вінерівський процес. Не обмежуючи загальності вважаємо, що . Обчислимо характеристику

Використовуючи теорему про мартингальну характеризацію вінерівського процесу (див. теорема 2.6.1 [2]) маємо, що , , ? система вінерівських процесів.

Властивість 2) випливає з конструкції , .

Теорему доведено.

Зауваження 1. Відмітимо, що побудована система вінерівських процесів є зліченною підсистемою потоку Арратья, який був побудований в [1]

1.2 Еволюція важкої частинки в системі броунівських частинок зі склеюванням

Розглянемо наступну систему частинок. Частики, стартують з усіх цілих точок прямої і ті частинки, що стартували з ведуть себе аналогічно тим, які розглядались у першому пункті. Частина, що стартувала з має масу і при склеюванні з іншими частинками її маса зростає, а дифузія зменшується, а саме: маса частинки в момент часу рівна кількості частинок, що склеїлись з нею до моменту часу і дифузія обернено пропорційна масі.

У даному пункті, використовуючи побудовану систему вінерівських процесів із склеюванням (див. теорема 1) буде побудовано сукупність процесів, що описує поведінку даної системи процесів зі склеюванням. Має місце наступна теорема.

Теорема 2. Нехай ? система випадкових процесів, яка задовольняє властивості 1) - 3) теореми 1. Тоді існує випадковий процес , такий, що

a) , ? неперервний квадратично інтегрований мартингал відносно фільтрації

;

b) ;

c) для довільного

Де ;

d) для довільних і

,

Де .

Крім того, розподіл , не залежить від вибору сукуності процесів .

Для доведення теореми доведемо допоміжну лему.

Лема 1. Нехай ? неперервний квадратично інтегровний мартингал з характеристикою

, ,

Де ,

який стартував з . Тоді

,

де , (3)

? стандартний вінерівський процес.

Доведення. Оскільки ? квадратично інтегровний мартингал, то за теоремою представлення [2] існує вінерівський процес , такий, що

. (4)

Позначимо для

.

Тоді з (4), маємо, що

.

Отже, .

За умовами леми

.

Отже, .

Звідси .

Лему доведено.

Доведення теореми 2. Нехай ? стандартний вінерівський процес, який не залежить від . Використовуючи процес , побудуємо .

Візьмемо , і , .

Нехай , , уже побудовані. Визначимо

,

,

Покажемо, що м.н. Спочатку відмітимо, що зростає. Нехай

,

.

Тоді з побудови легко бачити, що . (5)

Покажемо, що . Позначимо

, .

Тоді ? неперервний квадратично інтегровний мартингал з характерис-тикою

.

Згідно леми 1 для довільне

.

Оскільки [5], то .

Аналогічно . Звідси . Отже, з (5) .

Використовуючи лему Рісса існує підпослідовність : м.н.

З монотонності маємо, що м.н. (6)

Зауважимо, що

.

Звідси і з (6) існує границя

Причому

при . (7)

З (7) та з побудови , , легко бачити, що задовольняє умови теореми.

Теорему доведено.

1.3 Асимптотичні властивості нескінченної системи

Нехай , випадковий процес, який задовольняє властивості a) - d) теореми 2. У даному пункті буде досліджено асимптотичні властивості , , та .

Лема 2. Існує стандартний вінерівський процес , такий, що

Доведення леми випливає з теореми [2].

Лема 3. Для довільних та виконується

.

Доведення леми аналогічне доведенню леми 1.

Лема 4.



Доведення. Рівність (8) еквівалентна

,

.

Нехай , , , де , а вибирається так, щоб вираз був визначений. Позначимо також .

Оцінимо

.

Розглянемо при і

,

де , та - незалежні стандартні вінерівські процеси,.

Використовуючи асимптотику хвоста функції розподілу стандартного нормального закону, маємо



,

де вибираємо так, щоб .

Оскільки , то в силу леми Бореля-Кантеллі отримаємо, що

Лему доведено.

Лема 5. Для довільного процеси і склеюються за скінченни...