Застосування конгруенцій: ознаки подільності, перевірка арифметичних дій, перетворення десяткового дробу у звичайний та навпаки, індекси. Вчені, що займалися питанням застосування конгруенцій. Основні теореми в теорії конгруенцій - Ейлера і Ферма.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Курсова робота

АРИФМЕТИЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ КОНГРУЕНЦІЙ

Зміст

• Вступ
• 1. Конгруенції та їх основні властивості
• 2. Ознаки подільності
• 3. Перевірка арифметичних дій
• 4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий
• 5. Індекси. Загальні властивості
• Висновки

Вступ

Важливе місце в курсі теорії чисел посідають конгруенції та, зокрема, застосування конгруенцій. Цим питанням займалися такі видатні вчені як, Ейлер, Ферма, Б. Паскаль.

П'єр Ферма (1601-1665) - відомий свого часу юрист і радник судового парламенту в Тулузі - інтенсивно і з великим успіхом займався різними математичними питаннями. П. Ферма є одним з творців диференціального числення і теорії ймовірності, але особливо велике значення мають його роботи по теорії чисел. Більшість теоретико-числових результатів П. Ферма записувалися ним на полях екземпляра твору Діофанта „Арифметика”; Ферма зазвичай не записував доведення, а давав тільки короткі вказівки про метод, який він застосовував для отримання свого результату. Твір Ферма під назвою „Opera Varia" були видані вперше в 1679 р.

Теорема Ферма, викладена в цій главі, була висловлена в одному з листів, посланому їм в 1640 р. Френіклу. У цьому листі Ферма пише, що він отримав доведення цієї теореми; проте саме доведення не було ним опубліковане.

Перше з відомих доведень теореми Ферма належить Лейбніцу (1646-1716). Доведення Лейбніца було засноване на розгляді порівняння:

.

Ейлер дав декілька різних доведень теореми Ферма, з яких перше відноситься до 1736 р. У 1760 р. Ейлер узагальнив теорему, надавши їй вигляду теореми 120, що носить його ім'я. Треба при цьому мати на увазі, що термінологія і позначення у Ферма і у Ейлера абсолютно відмінні від сучасних.

Блез Паскаль (1623-1662) - видатний французький математик, фізик і філософ. Математичні інтереси Паскаля дуже різноманітні: він зробив істотний внесок у розвиток аналізу нескінченно малих; разом з Ферма Паскаль є основоположником теорії ймовірностей; йому належать загальна ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число, яка ґрунтується на знанні суми цифр числа, а також спосіб обчислення біноміальних коефіцієнтів ("Арифметичний трикутник ?); він вперше точно визначив і застосував для доведення метод повної математичної індукції

Дана курсова робота складається з 5 параграфів:

1. Конгруенції та їх основні властивості: вводяться означення конгруенції, основні властивості, основні теоремами в теорії конгруенцій - Ейлера і Ферма.

2. Ознаки подільності. В цьому параграфі розглядаються основні ознаки подільності цілих чисел, при використанні конгруенцій; метод Паскаля - загальна ознака подільності будь-якого цілого числа на будь-яке інше ціле число.

3. Перевірка арифметичних дій. В даному параграфі наведено два способи перевірки арифметичних дій: "перевірки за допомогою дев'ятки", " перевірки за допомогою одинадцяти".

4. Визначення члена цифр періоду при перетворенні звичайного дробу в десятковий. Використовуючи конгруенції можна перетворити десятковий дріб у звичайний і визначити період даного дробу.

5. Індекси. В цьому параграфі розглядають основні властивості індексів, їх загальна характеристика. Індекси по простому і складеному модулю розглядаються в окремих підпунктах.

Кожен параграф проілюстровано прикладами.

1. Конгруенції та їх основні властивості

Припустимо, що т є натуральне число; розглядатимемо цілі числа у зв'язку з остачами від ділення їх на це натуральне яке називають модулем. Згідно з теоремою про ділення з остачею кожному числу а відповідатиме певна остача і від ділення а на т:

, .

Якщо двом цілим числам і відповідає одна й та сама остача від ділення їх на т, то вони називаються конгруентними (або порівнянними) за модулем т. Це позначається символом:

(1)

читається: а конгруентне з за модулем т.

Деякі автори позначають це коротше:

(1')

Співвідношення (1) [або (1')] між числами називають конгруенцією, або порівнянням.

Приклади. ; ; .

Теорема 1. Конгруентність чисел і за модулем рівнозначна:

а) можливості подати а у формі , де - ціле;

б) подільності - на .

Властивості:

1. Для конгруенції справджуються закони: рефлективності, симетричності і транзитивності, тобто відповідно:

a) ;

б) з конгруенції випливає, що ;

в) якщо і , то .

2. Конгруенції за одним і тим самим модулем можна почленно додавати (або віднімати).

Висновок 1. Доданок, що стоїть у якій-небудь частині конгруенції, можна переносити в іншу частину, змінивши знак на протилежний.

Висновок 2. Можна додати до обох частин або відняти від обох частин конгруенції одне й те саме число.

Висновок 3. До кожної частини конгруенції можна додати (або відняти від неї) довільне число, кратне модулю.

3. Конгруенції за одним і тим самим модулем можна почленно перемножати.

Висновок 1. Обидві частини конгруенції можна помножити на одне й те саме ціле число.

Висновок 2. Обидві частини конгруенції можна підносити до одного й того самого цілого невід'ємного степеня, тобто якщо. , то , де - ціле.

4. Обидві частини конгруенції можна поділити на їхній спільний дільник, якщо він взаємно простий з модулем.

5. Обидві частини конгруенції і модуль можна помножити на одне й те саме натуральне число.

6. Обидві частини конгруенції і модуль можна поділити на будь-який їхній спільний дільник.

7. Якщо конгруенція має місце за кількома модулями, то вона матиме місце і за модулем, що дорівнює їхньому найменшому спільному кратному.

теорія конгруенція ейлер ферм

8. Якщо конгруенція має місце за модулем , то вона матиме місце і за будь-яким дільником цього модуля.

9. Якщо одна частина конгруенції і модуль діляться на яке-небудь ціле число, то і друга частина конгруенції ділиться на це число.

10. Числа і , конгруентні між собою за модулем , мають з ним один і той самий найбільший спільний дільник.

Візьмемо деяке натуральне число , взаємно просте з модулем , розглянемо послідовні степені : . Всі числа цієї нескінченної множини розподілені в класах, отже, принаймні один з цих класів повинен містити нескінченну множину степенів . Узявши з цього класу два степені і позначивши їх і , де , матимемо . Оскільки з слідує , то . Таким чином, для деякого маємо , причому оскільки то . Тоді і при будь-якому натуральному матимемо , що доводить існування нескінченної множини степенів , що належать класу .

П. Ферма для простого модуля, а Л. Ейлеру для будь-якого модуля вдалося вказати значення , при яких має місце рівність . Відповідні теореми, ми їх називатимемо теоремами Ферма - Ейлера, є основою всієї теорії порівнянь і широко використовуються як в теоретичних дослідженнях, так і в арифметичних застосуваннях.

Теорема Ферма. Для будь-якого простого і будь-якого , що не ділиться на , справедливе порівняння

.

Теорема Ейлера. Для будь-якого модуля і будь-якого , взаємно простого з , справедливе порівняння

.

2. Ознаки подільності

Розрізняють загальні ознаки, що мають силу для будь-якого m і власні - для окремих значень m.

Загальну ознаку подільності виражає правило, за допомогою якого по цифрах числа N записаного в системі числення з основою g, можна судити про подільність його на інше число m.

Французький математик Блез Паскаль (1623-1662) знайшов загальну ознаку подільності. Її можна сформулювати наступним чином:

Теорема 7 (загальна ознака подільності Паскаля). Для того, щоб число N, записане в довільній g-ітій системі числення у вигляді:

,

ділилося на число m, необхідно і достатньо, щоб число ділилося на m (де - цифри числа N, а - абсолютно найменші вирахування відповідних степенів по модулю m, і = 1, 2.,n). Доведення. Нехай , де - абсолютно найменше вирахування числа по модулю m, (i = 1, 2., n). Тоді

(1)

Число N ділиться на m тоді і тільки тоді, коли

(2)

З рівнянь (1) і (2) і їх транзитивності отримуємо умову, рівносильну умові (2):

. (3)

З доведеного випливає: для того, щоб N ділилося на т, необхідно і достатньо, щоб Q ділилося на m.

Теорема доведена.

Як наслідок із загальної ознаки Паскаля витікають різні ознаки подільності. Розглянемо деякі з них (найчастіше використовуван...