Аппроксимация экспериментальных зависимостей
Краткое сожержание материала:
Задание 1
Данные давления водорода Н2 на линии насыщения приведены в таблице. Сделать аппроксимацию экспериментальных данных в виде степенной функции и многочлена первой степени. Произвести сравнительный анализ ошибки аппроксимации полученной двумя функциями.
Таблица 1
Ts,0К |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
|
Pмм рт. ст. |
360,3 |
509,5 |
699,2 |
935,3 |
1223.7 |
1570,5 |
1981,8 |
2463,8 |
Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. Теоретические сведения
Пусть, в результате эксперимента получена зависимость.
Необходимо найти аналитическую формулу f = , которая аппроксимирует экспериментальную (табличную) зависимость.
Выберем зависимость в виде полинома 2 - й степени, т.е.
(1)
В выражении (1) коэффициенты , , подлежат определению, причем эти коэффициенты должны быть подобраны таким образом, чтобы зависимость наилучшим образом приближалась к экспериментальной зависимости. Пусть отклонение - различие между табличным значением в точке и значением аналитической функции в этой же самой точке, т.е.:
(2)
В соответствии с методом наименьших квадратов (МНК) наилучшими коэффициентами зависимости (1) будут такие, для которых сумма квадратов отклонений будет минимальной.
(3)
Используя необходимые условия существования экстремума для функций нескольких переменных , находим уравнение для определения коэффициентов зависимости (1).
(4)
Из условия (4) получим систему линейных алгебраических уравнений:
(5)
Решив систему (5) найдем коэффициенты аппроксимирующей зависимости (1).
Эффективным методом решения систем линейных алгебраических уравнений является матричный метод. Сущность его состоит в следующем.
Пусть А -- матрица коэффициентов системы уравнений, X -- вектор неизвестных, В -- вектор правых частей системы уравнений. Тогда решение системы уравнений в матричной форме будет иметь вид:
Х = А -1 В.
Правило Крамера
Если ранг матрицы совместной системы равен числу ее неизвестных, то система является определенной. Если число неизвестных системы совпадает с числом уравнений (m = n) и матрица системы невырожденная (det A ? 0), то система имеет единственное решение, которое находится по правилу Крамера:
В этих формулах ? = det А -- определитель системы, а ?k -- определитель, полученный из определителя системы заменой k-гo столбца столбцом свободных членов (k = 1, 2,..., n).
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными можно выразить через определители:
, ,
Информационное обеспечение
Зависимость давления P водорода Н2 при различных температурах на линии насыщения приведены в таблице (1).
Для проведения анализа исходных данных с целью выбора вида аппроксимирующего многочлена построим график функции, заданной в табл.1. График приведен на рис.1.
Графическое отображение точек экспериментальных данных
Рис. 1. Экспериментальная зависимость P=f(T)
В результате анализа данных выберем в качестве аппроксимирующего многочлена параболу, заданную уравнением P2(x)=a0+a1x+a2x2.
Для определения коэффициентов a0, a1, a2 запишем систему уравнений вида
При составлении системы создадим вспомогательную таблицу данных (таблица 2).
Используя данные таблицы 2, систему уравнений (5) записываем в виде
В результате решения системы методом Крамера получаем следующие значения определителей:
detA = 56448;
detA1 = 1435933397;
detA2 = -94279012,8;
detA3 = 1564382,4;
Вычислив определители, рассчитываем значения коэффициентов:
a0 = detA1/ detA;
a1= detA2/detA;
a2 = detA3/ detA;
a0= 25438,1625;
a1= -1670,19226;
a2= 27,71369048.
Таким образом, искомый аппроксимирующий многочлен имеет вид:
(6)
Полученная аналитическая зависимость (6) обобщает экспериментальные данные табл.01.
Для оценки погрешности полученной зависимости составим таблицу значений P. Для этого определим давление P по формуле (6). Результаты внесем в таблицу 2.
Таблица 2
T |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
|
P |
370,8291668 |
502,0267858 |
688,6518 |
930,7042 |
1228,1839 |
1581,091 |
1989,4256 |
2453,188 |
Для оценки точности параболической аппроксимации сравниваем значения Р из табл.01 и табл.2. Модуль разности соответствующих значений представляет P-погрешность аппроксимации, значения которой представлены в табл.3. В таблице приведена также относительная погрешность Р, равная отношению Р к Р.
Таблица 3
Т |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
|
Р |
10,529 |
7,4732 |
0,5482 |
4,59583 |
4,4839 |
10,591 |
7,625 |
10,6125 |
|
P,% |
2,8393578 |
1,4886087 |
1,5317 |
0,4938 |
0,36509 |
0,6699 |
0,38331 |
0,4326 |
Сравнительный анализ погрешностей показывает, что полученная аналитическая зависимость удовлетворительно обобщает исходные экспериментальные данные.
Для интегральной оценки аппроксимации можно использовать формулу:
На рис. 2 приведены два графика, один из которых построен по данным аппроксимации (табл. 2), а второй - по исходным данным (табл.01).
Сравнивая эти графики, можно также отметить удовлетворительную сходимость теоретических и экспериментальных данных.
Выберем в качестве аппроксимирующего многочлена линейную функцию.
Аппроксимируем данную табличную зависимость многочленом первой степени P1(x)=a0+a1x
Для определения коэффициентов а0 , а1 необходимо составить систему уравнений
Подставив данные таблицы в систему уравнений получим:
Находим а0 и а1 методом Крамера:
а0 = -9343,52, а1 = 297,4798
Следовательно, искомый аппроксимирующий многочлен имеет вид
P= -...
Аппроксимация функций
Интерполяция (частный случай аппроксимации). Аппроксимация функцией. Метод наименьших квадратов. Из курса математики известны 3 способа задания функци...
Расчет аппроксимаций экспериментальных данных методом наименьших квадратов посредством программных средств Microsoft Excel, MathCAD и MatLAB
Метод наименьших квадратов. Возможные варианты расположения экспериментальных точек. Аппроксимация экспериментальных данных в программах Microsoft Exc...
Аппроксимация экспериментальных зависимостей
Данные давления водорода Н2 на линии насыщения приведены в таблице. Сделать аппроксимацию экспериментальных данных в виде степенной функции и многочле...
Нелинейные регрессии
Аппроксимация данных с учетом их статистических параметров. Математическая постановка задачи регрессии, ее принципы. Виды регрессии: линейная и нелине...
Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике
В монографии излагаются современные методы математической обработки результатов газодинамического эксперимента. Рассмотрены важнейшие алгоритмы интерп...