Точечное оценивание основных числовых характеристик, функции и плотности распределения компонент многомерного случайного вектора. Статистическая проверка характера распределения. Особенности корреляционного анализа признаков этой математической категории.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

53

Размещено на

Курсовая работа

По курсу математическая статистика

Анализ компонент многомерного случайного вектора

Задание

статистический многомерный вектор

Исходные данные: результаты обследования 50 объектов по пяти показателям.

Задание 1.

Провести анализ компонент многомерного случайного вектора признаков:

осуществить точечное оценивание основных числовых характеристик, функции и плотности распределения;

проверить гипотезы о характере распределения;

проверить гипотезы о значении параметров нормально распределенной генеральной совокупности;

осуществить интервальное оценивание основных параметров распределения.

Задание 2.

Провести корреляционный анализ компонент многомерного случайного вектора признаков:

1. осуществить точечное оценивание параметров многомерного нормально распределенного вектора признаков;

2. рассчитать точечные оценки парных, частных и множественных коэффициентов связи;

3. проверить значимость коэффициентов связи;

4. для значимых парных и частных коэффициентов корреляции простроить доверительные интервалы.

Глава 1. Анализ компонент многомерного случайного вектора

1) Постановка задачи

Провести анализ компонент многомерного случайного вектора :

1) Представить выборочные данные в виде интервального вариационного ряда и в виде дискретного вариационного ряда;

2) Построить эмпирическую функцию распределения (аналитически и графически), полигон и гистограмму (для непрерывных случайных величин);

3) Рассчитать точечные оценки основных числовых характеристик распределения: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, начальные и центральные моменты третьего и четвёртого порядков;

4) Проверить гипотезу о характере распределения генеральной совокупности.

2) Краткие теоретические сведения

Пусть мы имеем апостериорную выборку х_1,n. Упорядочим результаты наблюдений в порядке возрастания. Пусть х₍₁₎=min{x_i}. Получим выборку х₍₁₎<=x₍₂₎<=…<=x_(n). Она также называется апостериорным вариационным рядом. Этому ряду будет соответствовать упорядоченный ряд о₍₁₎<= о₍₂₎<=…<=о_(n) (априорный вариационный ряд). Апостериорный вариационный ряд используется для вычислений тех или иных числовых характеристик выборочной совокупности, а априорный - для теоретических доказательств. Элементы апостериорного ряда будем называть вариантами, а элементы априорного - порядковыми статистиками.

На основе построенного апостериорного вариационного ряда построим упорядоченный вариационный ряд с учётом повторений. z₍₁₎ - наименьшее наблюдённое значение с учётом повторений (z₍₁₎=x₍₁₎), которое будем называть вариантой, k₁ - частота повторений z₍₁₎=x₍₁₎. z₍₂₎ - следующее по величине значение вариационного ряда. k_i - частота повторений z_(i)=x_(i) Получим ряд z₍₁₎<=z₍₂₎<=…<=z_(l), l<=n=. Построим дискретный вариационный ряд, где P_i^* - относительная частота, в силу теоремы Бернулли по вероятности сходящаяся к P_i (вероятности того, что случайная величина примет то или иное значение).

Таблица 1 - дискретный вариационный ряд

zi	z(1)	z(2)	.…	z(l)
ki	k1	k2	…	kl
Pi*			…

Для построения эмпирической функции распределения введём в рассмотрение величину , где . Пусть n(x) - число вариант, меньших х. Эмпирической функцией распределения будем называть функцию , которая для : . Очевидно, что



Она по вероятности сходится к вероятности события о<x . Эмпирическая функция распределения является оценкой реальной функции распределения.

Пусть мы имеем непрерывную генеральную совокупность. Строить эмпирическую функцию распределения в данном случае неудобно, так как варианты, с одной стороны, не совпадают, а с другой - их много. Поэтому используем эмпирическую плотность распределения. Для её построения нам необходим большой объём совокупности (n>=50).

Весь промежуток наблюдённых значений разобьём на m интервалов, вначале равной длины. Определим число интервалов как m=log₂n+1. Интервалы будем обозначать как I_i, причём первый интервал содержит крайнюю левую точку, а последний - крайнюю правую. n_i - число вариант, попавших в i-тый интервал. Наблюдённые значения включаются в интервал, лежащий правее точки (если точка лежит на границе интервалов, то прибавляем 0,5 к частоте левого интервала и 0,5 - к частоте правого интервала). Также находим плотности относительных частот - отношения относительных частот к длинам соответствующих интервалов. Построим интервально-вариационный ряд.

Таблица 2 - интервальный вариационный ряд

Ii	I1	I2	…	Im
ni	n1	n2	…	nm
Pi*			…
fi			…

P_i^* - относительная частота попадания элементов апостериорной выборки в i-тый интервал, f_i - плотность относительных частот, а - длина каждого интервала. При этом выполняется соотношение .

График f_i - гистограмма - приближённая оценка плотности распределения.

Таблица 3 - таблица формул для вычислений числовых характеристик выборочной совокупности.

Характеристика	Апостериорная выборка	Сгруппированный дискретный вариационный ряд	Интервальный вариационный ряд
Оценка математического ожидания
Оценка дисперсии (смещенная)
Оценка дисперсии (несмещенная)
Оценка среднего квадр. отклонения
Оценка коэффициента асимметрии
Оценка коэффициента эксцесса
Оценка начального момента j-того порядка
Оценка центрального момента j-того порядка

Перейдём к выдвижению гипотез о характере распределения генеральной совокупности.

Пусть о - случайная величина с неизвестным законом распределения Р_о(х). Для исследования проведено n наблюдений по схеме Бернулли. Получим апостериорную выборку х_1,n, которая соответствует априорной выборке о_1,n. По этим данным построим эмпирическую плотность распределения и эмпирическую функцию распределения. По их наглядным отображениям (гистограмме или полигону) мы можем предположить, что выборка х_1,n получена из генеральной совокупности с функцией распределения F_0...