Алгебри інваріантності та точні розв’язки математичної моделі хемотаксису

Застосування систем рівнянь хемотаксису в математичній біології. Виведення системи визначальних рівнянь, розв'язання отриманої системи визначальних рівнянь (симетрій Лі). Побудова анзаців максимальних алгебр інваріантності математичної моделі хемотаксису.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Алгебри інваріантності та точні розв'язки математичної моделі хемотаксису

Зміст

Вступ

Розділ 1. Застосування систем рівнянь хемотаксису в математичній біології

Розділ 2. Симетрії Лі однієї системи рівнянь хемотаксису

2.1 Виведення системи визначальних рівнянь

2.2 Розв'язування системи визначальних рівнянь

2.3 Аналіз отриманих алгебр інваріантності

Розділ 3. Редукція системи ДРЧП до системи ЗДР

Висновки

Список літератури

Вступ

На сьогоднішній день вже загальноприйнятою є теза про те, що переважна більшість реальних процесів, які вивчаються в фізиці, біології, хімії тощо, мають суттєво нелінійну природу, а тому математично описуються нелінійними рівняннями. У переважній більшості - це нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними (ДРЧП) та системи (ДРЧП). Тому побудова адекватних моделей цих процесів у формі деяких класів нелінійних ДРЧП та розвиток нових підходів до розв'язання цих рівнянь є дуже актуальною проблемою.

Як відомо, проблема розвитку нових підходів для інтегрування відомих нелінійних ДРЧП з тривіальною (найпростішою) симетрією Лі, які є базовими для реальних процесів, є надзвичайно актуальною. В 90-х роках різними дослідниками, зокрема, П. Олвером, В.А. Галактіоновим, С.Р. Свірщевським, А.С. Фокашем, К.М. Ліу, В.І. Фущичем, Р.М. Чернігою, М.К. Нучі запропоновано декілька нових підходів для побудови точних розв'язків нелінійних рівнянь. Хоч жоден з цих підходів не можна розглядати як абсолютно новий універсальний метод інтегрування нелінійних ДРЧП, проте їхнє застосування до розв'язання низки відомих нелінійних рівнянь дозволило побудувати нові розв'язки, які неможливо знайти не тільки методом Лі, а часто - і методом некласичних симетрій Блумана - Коула.

Метод Лі названий за іменем його фундатора - норвезького математика Софуса Лі, має більш широкі межі застосування, оскільки він застосовний і до неінтегровних нелінійних рівнянь з частинними похідними. Метод ґрунтується на знаходженні та застосуванні операторів алгебри інваріантності (симетрій Лі) розглядуваного нелінійного рівняння з частинними похідними для знаходження його точних розв'язків. Хоч базові теореми цього методу сформульовані ще С.Лі, одначе протягом останніх сорока років цей метод невпинно розвивається і регулярно з'являються роботи, в яких автори одержують нові результати для нелінійних рівнянь з нетривіальною симетрією Лі. Найбільший внесок у розвиток та застосування методу Лі за цей час зробили Л.В. Овсянніков, Дж. Блуман, П. Олвер, Н.Х. Ібрагімов, В.І. Фущич. В Україні перші роботи на цю тему були опубліковані львівським математиком В.Г. Костенком наприкінці 50-х років.

У природі усі живі істоти прагнуть опинитися в областях з найбільш сприятливими для їх виду умовами. Це твердження справедливо не лише для багатоклітинних організмів, але і для одноклітинних, і навіть для окремих клітин. Добре відомо, що ендотеліальні клітини капілярної мережі, макрофаги і цілий ряд інших клітин мають хемотактичну рухливість, тобто, здатні змінювати напрям свого руху у відповідь на зовнішній сигнал. Зазвичай таким сигналом є розчинена хімічна речовина, яка називається хемоатрактантом, проте існує і інший тип спрямованого руху, гаптотаксис - рух по градієнту напруги міжклітинного матриксу. Окрім руху по градієнту аттрактанта, експериментально спостерігається зміна швидкості випадкового руху клітин залежно від концентрації хімічного медіатора, так званий хемокінез. Хемотаксис і хемокінез відіграють важливу роль в процесах формоутворення (морфогенезу), імунних і регуляторних процесах. Крім того, вважається, що багато типів трансформованих клітин, особливо метастатичний активних, володіють хемотактичною рухливістю і хемокінезом.

Однією з перших робіт по математичному моделюванню, що враховує хемотаксис, була робота Патлака, опублікована в 1953 році , яку потім розвинули Келлєр і Зегель в 1970 . Використаний ними математичний запис хемотактичного члена став загальновизнаним для опису направленного руху клітин і одноклітинних організмів в різних біологічних явищах.

Існує ряд робіт по математичному моделюванню росту пухлини, в яких враховується хемотактична і хаптотактична рухливість пухлинних клітин . Проте коректне врахування хемотактичної рухливості украй ускладнений через відсутність скільки-небудь достовірних експериментальних даних відносно характерної величини цієї рухливості в тканині. Дійсно, практично усе дослідження хемотаксису і хемокінезу пухлинних клітин проводяться in vitro( іn vitro -- це техніка виконання експерименту у пробірці, або, більш загально, у контрольованому середовищі поза живим організмом) в камері Бойдена або за допомогою спеціальних плоских дисперсійних поверхонь. Проте ці дослідження дозволяють порівнювати величини хемотактичної рухливості у різних клітинних ліній або ж стежити за її зміною з плином часу або залежно від градієнта хімічного медіатора (хемоатрактанту). Відсутність кількісних даних про величину хемотактичної рухливості в щільній тканині робить її врахування в математичній моделі досить спекулятивним. Дійсно, завжди можна підібрати параметри хемотактичного члена так, щоб в результаті отримати необхідний ефект.

Розповсюдження бактеріальних популяційних хвиль добре описується математичними моделями, основаними на рівняннях Келлєра-Зегеля

де причому концентрація субстрату-аттрактанту, який споживається бактеріями, концентрація бактерій, питома швидкість росту бактерій, функції хемотаксисної відповіді, коефіцієнти дифузії субстрату та бактерій відповідно; сталі; часова та просторова змінні відповідно. Моделлю Келлєра-Зегеля та її деякими модифікаціями описується також формування та поширення хемотаксисних кілець Адлера та різні процеси структуроутворення в бактеріальних колоніях при їх взаємодії.

Метою магістерської роботи є дослідження узагальненої системи Келлєра - Зегеля теоретико - алгебраїчними методами та методами якісної теорії диференціальних рівнянь.

Актуальність роботи. Класична модель Келлєра - Зегеля - система нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними - є базовою моделлю для опису значної кількості біологічних процесів, для яких характерний спрямований рух . Симетрійні властивості такої системи та її узагальнень, а також побудова точних розв'язків ще недостатньо вивчені.

Предметом вивчення є алгебри інваріантності та метод анзаців і їх застосування до побудови точних розв'язків нелінійних рівнянь.

Об'єкт вивчення - диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку, які є математичними моделями процесу хемотаксису.

Гіпотеза дослідження - оператори інваріантності системи Келлєра - Зегеля дозволяють побудувати класи точних розв'язків цієї системи.

Методи дослідження - теоретико - алгебраїчні методи та методи якісної теорії диференціальних рівнянь.

Магістерська робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, додатку та списку використаної літератури.

У вступі формулюється мета роботи, актуальність теми, об'єкт, гіпотеза та методи дослідження.

Перший розділ характеризується описанням значення процесу хемотаксису в математичній біології і в житті різних організмів в цілому.

У другому розділі виведена система визначальних рівнянь, подано подане розв'язання цієї системи, а також проаналізовані алгебри інваріантності, які були утворені при розв'язанні системи визначальних рівнянь, зокрема, побудовані базиси отриманих алгебр інваріантності і обчислені комутатори.

Третій розділ присвячено побудові анзаців і проведенню редукції системи диференціальних рівнянь з частинними похідними до системи звичайних диференціальних рівнянь.

У висновках коротко висвітлено основні положення роботи.

В списку літератури наводиться перелік основних літературних джерел, які використовувалися при написанні магістерської роботи.

Розділ 1. Застосування систем рівнянь хемотаксису в математичній біології

Сучасна наука характеризується глибоким проникненням математичних методів у її різні галузі. З середини 50-х років у всьому світі почався стійкий ріст інтересу до використання математики в екології та біології. Математичне моделювання допомагає створити цілісну картину того чи іншого явища, передбачити різні наслідки певного порушення функціонування екосистеми в локальному або глобальному масштабі .

Впродовж останніх десятиліть намітився значний прогрес в кількісному (математичному) описі функцій різних біосистем на різних рівнях організації життя : молекулярному, клітинному, органному, організменому, популяційному, біогеоценогенному (экосистемному). Життя визначається безліччю різних характеристик цих біосистем і процесів, що протікають на відповідних рівнях організації системи і інтегрованих в єдине ціле в процесі функціонування системи. Про моделі, що базуються на істотних постулатах про принципи функціонування системи, які описують і пояснюють широкий круг явищ і виражають знання в компактній, формалізованій формі, можна говорити як про теорію біосистеми.

Побудова математичних моделей (математичних теорій) біологічних систем стала можливою завдяки виключно інтенсивній аналітичній роботі експериментаторів : морфологів, біохіміків, фізіологів, фахівців з молекулярної біології та ін. В результаті цієї роботи кристалізовані морфофункціональні...