Алгебраические системы замыканий
Краткое сожержание материала:
1
Содержание
- Введение 3
- §1. Основные понятия и примеры 6
- §2. Связь систем замыканий с операторами замыкания 13
- §3. Алгебраические системы замыканий 16
- §4. Соответствия Галуа 20
- § 5. Задачи 27
- Библиографический список 32
Введение
Важную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения . Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.
Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве.
Задачи:
1. рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах;
2. сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания;
3. рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий;
4. рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий.
Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1.
В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа.
В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий.
Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий.
Последний параграф посвящен решению задач.
Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ([1]) и Куроша А. Г. ([2], [3]). Остальные источники ([4], [5], [6], [7]) использовались как дополнительная справочная литература.
Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения:
? - начало доказательства;
^ - конец доказательства.
В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число - номер параграфа, а второе - номер примера в параграфе.
Основными результатами работы являются:
1. доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания ? на A по правилу ?(X) = ?{Y D | YX}. Обратно, каждый оператор замыкания ? на A определяет систему замыканий D = {XA | ?(X) = X}.
2. доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Щ можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.
3. установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах.
4. решение задач.
§1. Основные понятия и примеры
Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.
Определение 1. Пусть L - непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение - отношение порядка. Множество L - упорядоченное множество.
Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью.
Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.
В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 4. Пусть A - произвольное множество и B (A) - его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A), или системы подмножеств множества A. Система D подмножеств множества A называется системой замыканий, если само множество A принадлежит D и система D замкнута относительно пересечений, то есть
?Y D для любой непустой подсистемы YD.
Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A).
Одним из примеров системы замыканий является следующий:
Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G.
Введем ещё одно важное понятие - понятие оператора замыкания на множестве.
Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение ? множества B (A) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:
J. 1. X?(X);
J. 2. Если , то ?(X)?(Y);
J. 3. ??(X) = ?(X)
для всех X, YB (A).
Для каждой системы замыканий D на множестве A можно определить оператор замыкания ? равенством
?(X) = ?{YD | YX} для всех XA.
Отметим, что группа аксиом J. 1 - J. 3 является независимой. Покажем это.
Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.
Отображение ?, при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор ? следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:
, AA;
{a}{a, b}, {b}A, {c}{b, c};
{a, b}A, {a, c}A, {b, c}A.
Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как ??(a) = A?{a, b} = ?(a).
Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение ? зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:
, AA;
{a}A, {b}A, {c}A;
{a, b}{a, b}, {a, c}{a, c}, {b, c}{b, c}.
Очевидно, что аксиома J. ...
Методы расчета токов трехфазного и несимметричных коротких замыканий в электрических системах напряжением свыше 1000 В
Изучение методов расчета коротких замыканий в электрической системе. Определение токов трёхфазного, однофазного и двухфазного коротких замыканий. Анал...
Алгебраические системы замыканий
Важную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения . Оно образует полную решётку с некоторыми характе...
Сборник задач по алгебре. Часть 1. Для 6-7 классов семилетней и средней школы
В книге данны задачи на темы:- алгебраические выражения.Уравнения.- положительные и отрицательные числа.Нуль.- действия над целыми алгебраическими...
Релейная защита
Изучение сущности и особенностей релейной защиты. Классификация реле и конструкция вторичных реле. Особенности токовой защиты, применяемой для защиты...
Самоучитель MathCAD 12 математические расчёты на компьютере
Оглавление Часть1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ Глава 1. Основные сведения о Mathcad Глава 2. Алгебраические вычисления Глава 3. Дифференцирование...