Алгебра октав

Доказательство утверждений непротиворечивости и категоричности системы аксиом алгебры октав. Практическое изучение действий над октавами (сложение, умножение) и применимых к ним тождеств (Муфанга, Клейнефлда). Формулировка теорем Гурвица и Фробениуса.
Краткое сожержание материала:

Оглавление

Введение

§1.Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

§2. Дополнительные сведения об октавах

2.1 Действия над октавами

2.2 Сопряженные октавы и их свойства

2.3.Некоторые тождества для октав

§3. Теорема Гурвица

3.1 Нормированные линейные алгебры

3.2 Теорема Гурвица

§4. Обобщенная теорема Фробениуса

Список литературы

Введение

Одному известному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежало высказывание- "Поскольку слова могут быть сравнены с буквами, употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, и наоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образом приспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся к языку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснить трудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующих конкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал ее предметом своего изучения".

Предметом моего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры - алгебра октав.

Цель данной исследовательской работы- выявить сущность алгебры октав, а так же выявить, каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т.е. над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего "живого" нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона.

Рассмотрим алгебраическое определение октавы.

Октавой - называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

Здесь обозначены:

O - октава,

Q - кватернионы,

E - мнимая единица. .

Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом.

Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.

Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения.

Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если ,обозначить октаву покомпонентно как

,

то сопряженная ей октава будет иметь вид:

.

§1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

Определение. Алгеброй октав называется алгебра , если:

I. Алгебра - альтернативная линейная алгебра;

II. Тело кватернионов есть подтело алгебры ;

III. е² = -1 и е ? i, е ? j, е ? k;

IV.Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры , содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй .

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = {(u,v)|uK vK}, где К - множество кватернионов. По определению, (u₁;v₁) = (u₂;v₂) u₁ = u₂ v₁ = v_2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u₁;v₁) + (u₂;v₂) = (u₁ + u₂ ; v₁ + v₂);

(u₁;v₁) * (u₂;v₂) = (u₁u₂ - v₂v₁ ; v₂ u₁ + v₁ u₂)_.

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.

1) ((u₁;v₁) + (u₂;v₂)) + (u₃;v₃) = (u₁ + u₂ ; v₁ + v₂) + (u₃; v₃) = ((u₁ + u₂) + u₃; (v₁ + v₂) + v₃) = (u₁ +( u₂ + u₃); v₁ + (v₂ + v₃)) = ((u₁; v₁) + (u₂+ u₃; v₂+ v₃) = (u₁; v₁) + ((u₂; v₂) + (u₃; v₃)),

т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u₁; v₁) + (u₂; v₂) = (u₁ + u₂ ; v₁ + v₂) = (u₂ + u₁; v₂ + v₁) = (u₂; v₂) + (u₁; v₁),

т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v ; x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0_U.

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:

((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁ + u₂ ; v₁ + v₂) (u₃; v₃) = ((u₁ + u₂) u₃ - ₃(v₁ + v₂); v₃(u₁+u₂)+ (v₁ + v₂)u₃) = (u₁ u₃ + u₂ u₃ - ₃v₁ - ₃v₂; v₃u₁+ v₃u₂+ v₁ u₃ + v₂u₃).

С другой стороны:

(u₁; v₁) (u₃; v₃) + (u₂; v₂) (u₃; v₃) = (u₁u₃ - ₃v₁; v₃u₁ + v₁u₃)+(u₂ u₃ - ₃v₂; v₃u₂+ v₂u₃)=(u₁ u₃ - ₃v₁ + u₂ u₃ - ₃v₂; v₃u₁ + v₁u₃ + v₃u₂+ v₂u₃).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁; v₁) (u₃; v₃) + (u₂; v₂) (u₃; v₃),

т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u₃; v₃) ((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) = (u₃; v₃) (u₂; v₂) + (u₃; v₃) (u₁; v₁).

Действ...