Алгебра и начало анализа

Квадратичная функция. Графиком квадратичной функции является парабола. Логарифмическая функция. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Краткое сожержание материала:

Алгебра и начала анализа.
1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.	Ответ
2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и график.	Ответ
3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).	Ответ
4. Показательная функция y = ax, её свойства и график.	Ответ
5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график.	Ответ
6. Функция y = sin(x), её свойства и график.	Ответ
7. Функция y = cos(x), её свойства и график.	Ответ
8. Функция y = tg(x), её свойства и график.	Ответ
9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.	Ответ
10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.	Ответ
11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.	Ответ
12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a.	Ответ
13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) < a.	Ответ
14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a.	Ответ
15. Формулы приведения (с выводом).	Ответ
16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).	Ответ
17. Тригонометрические функции двойного аргумента.	Ответ
18. Тригонометрические функции половинного аргумента.	Ответ
19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).	Ответ
20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.	Ответ
21. Логарифм произведения, степени, частного.	Ответ
22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.	Ответ
23. Правила вычисления производной.	Ответ

1. Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.

2. Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.

3. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0.

4. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax^{2(частный случай)} при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; + ).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ).

Свойства функции y = ax² при а < 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (- ; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0].

И, так, график функции y = ax² + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.

Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где - коэффициент обратной пропорциональности.

1. Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. .

2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.

3. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = a^x, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.

1. Функция y = a^x при а>1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то a^x > 1;
е) если х < 0, то 0< a^x <1;

2. Функция y = a^x при 0< а <1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0< a^x <1;
е) если х < 0, то a^x > 1.

№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = log_a x называют логарифмической функцией с основанием а.
Свойства функции y = log_a x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то log_a x = 0;
д) если 0<x<1, то log_a x < 0;
е) если x > 1, то log_a x > 0.
Свойства функции y = log_a x при 0<a<1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то log_a x = 0;
д) если 0 < x < 1, то log_a x > 0;
е) если x > 1, то log_a x < 0.

№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin ).

1. область определения - множество всех действительных чисел;

2. множество значений - [-1; 1];

3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех ;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;

5. sin(x) = 0 при x = ;

6. sin(x) > 0 для всех ;

7. sin(x) < 0 для всех ;

8. функция возрастает на ;

9. функция убывает на .

№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos )

1. область определения - множество всех действительных чисел;

2. множество значений - [-1; 1];

3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех ;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;