Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства

Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Свойства решений автономных систем. Предельное поведение траекторий, циклы. Функция последования и направления их исследования, оценка характерных параметров.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Курсовая работа

Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства



1. Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка

Теорема существования и единственности решения Коши имеет следующее геометрическое истолкование: через каждую точку рассматриваемой области пространства Rn+1 проходит единственная интегральная кривая.

Здесь дадим еще одну интерпретацию системы дифференциальных уравнений первого порядка, особенно важную для приложений в механике и физике. Обозначим независимую переменную через t и будем ее рассматривать как время; искомые функции обозначим через x1, x2,…, xn и будем считать, что они задают закон движения xi=xi(t), i=1, n, материально й точки. Систему значений этих переменных будем рассматривать как множество точек n - мерного пространства, которое и называют фазовым пространством переменных (x1, x2,…, xn)=x. Тогда нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка примет вид

dxi/dt=fi (t, x1, x2,…, xn)= fi (t, x), i=1, n (1)

Система (1) в каждый момент времени t в данной точке (x1, x2,…, xn) фазового пространства определяет вектор скорости f=(f1, f2,…, fn) движущейся материальной точки, т.е. система (1) задает поле скоростей в пространстве (x1, x2,…, xn). Решением системы (1) является такой закон движения x=x(t)=(x1 (t), x2 (t),…, xn(t)) материальной точки, при котором эта точка в процессе движения имеет в каждый момент времени t заданную скорость f. При такой интерпретации система (1) называется динамической системой, а каждое ее решение - движением. Кривая, описываемая материальной точкой при таком движении, называется траекторией движения (не следует путать эту траекторию с интегральной кривой системы (1), так как интегральная кривая расположена в Rn+1). Задачи Коши для системы (1) теперь состоит в том, что требуется найти движение xi=ц(t), i=1, n, системы (1), удовлетворяющее при t=t0 начальным условиям

xi(t0)= ц(t0)=xi(0), i=1, n. (2)

Это значит, найти закон движения

xi= цi (t, t0, x1 (0), x2 (0),…, xn (0))= цi (t, t0, x0), (3)

определяющий в любой момент времени t положение движущейся точки, которая в начальный момент времени t0 занимала начальное положение x0=(x1 (0), x2 (0),…, xn (0)).

Для обеспечения существования и единственности решения задачи Коши для системы (1), т.е. задачи (1) и (2), предположим, что все функции fi (t, x) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ? fi (t, x) /?xk, k=(1, n), в цилиндрической области Q= DЧ(- ?,+?), где D - ограниченная замкнутая область пространства Rn переменных (x1, x2,…, xn), t (- ?,+?).

В силу теоремы Пикара решение (3) задачи Коши определяется в малой окрестности точки (t0, x0) области Q. Будем предполагать, что это решение продолжено на всю числовую ось - ? < t < +?.

Наибольший интерес представляет частный случай системы (1), когда ее правые части явно не зависят от t:

dxi/dt=fi (x1, x2,…, xn)= fi(x), i=(1, n)-- (4)

где функции fi (x) и ? fi /?xj, i.j=1, n, определены и непрерывны в области D Rn. Тогда D является фазовым пространством системы (4).

Систему уравнений (4) называют автономной. Она определяет стационарное движение среды, т.е. скорость движения в каждой точке фазового пространства не зависит от времени t и, следовательно, является постоянной в этой точке в течение всего времени.

Например, автономная система x1= x2, x2=-x1 имеет общее решение

x1=C1cos (t+C2), x2=C1sin (t+C2).

В пространстве R3 переменных x1, x2, t эти функции изображаются винтовыми линиями, а в фазовом пространстве переменных x1, x2 (здесь оно вся плоскость R2) - окружностями x12+x22=С12. Каждая окружность изображает бесконечное множество решений, отличающихся только значениями С1. Точка x1=x2=0 является особой точкой - центром.

2. Свойства решений автономных систем

Лемма1. Если xi=ц(t), i=(1, n)- решение автономной системы (4), то для любой постоянной С xi=ц (t+С), i=(1, n), также является решением этой системы.

Доказательство. Из правила дифференцирования сложной функции имеем

d/dt цi (t+C)=d/(d (t+C)) (цi (t+С)) (d (t+C))/dt= цi (t+С), (5)

По условию при любом t R справедливы равенства

цi(t)=fi (ц1 (t), ц2 (t),…, цn(t)), i=(1, n)

Заменяя в этих тождествах t на t+C, получим

цi (t+C)=fi (ц1 (t+С), ц2 (t+С),…, цn (t+С)), i=(1, n) (6)



Тогда из равенства (5) и (6) следует требуемое утверждение.

Лемма 2. Если xi=ц(t) и xi=ш(t), i=(1, n), - два решения системы (4) и цi(t1)=шi(t2), то шi(t)= цi (t+C), где С=t1-t2 т.е. если траектории xi=цi(t) и xi= шi(t), имеют общую точку, то эти траектории совпадают.

Доказательство. В силу леммы 1 функции xi=цi (t+C), i=(1, n), С=t1-t2 являются решением системы (4). В силу равенства цi(t1)=шi(t2) при t=t2 имеем

xi(t2)=цi (t2+C)= цi(t1)=шi(t2)

Следовательно, решения xi=цi (t+C) и xi=шi(t), i=(1, n), удовлетворяют при t=t2 одинаковым начальным условиям, поэтому, в силу единственности решения задачи Коши для системы (4), они совпадают, т.е. цi (t+C)=шi(t), i=(1, n).

Лемма 2 показывает, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, при этом второе решение описывает ту же самую траекторию, что и первое, но с «запозданием» на время С.

Следствие 1. Решение автономной системы (4) не может войти в особую точку за конечное время.

Доказательство. Пусть a=(a1, a2,…, an) - особая точка системы (4), т.е. xi=ai является решением этой системы. Если траектории решений xi=ai и xi=цi(t) не совпадают, то они не имеют общих точек. Следовательно, xi?цi(t) при всех t. Решение цi(t), i=(1, n), системы (4) может приближаться к особой точке только при t>+? или t>-?

Лемма 3. Решения автономной системы (4) обладают групповым свойством, т.е. если xi=цi (t, x0) i=(1, n), - решение системы (4), удовлетворяющее начальному условию: цi (0, x0)=xi(0), i=(1, n), то

цi (t, ц (ф, x0))= цi (t+ф, x0).



Доказательство. Пусть xi(1)= цi (ф, x0), i=(1, n). Тогда цi(1)=цi (t, ц (ф, x))=цi (t, x1 (1), x2 (1),…, xn(1)) - решение системы (4). В силу леммы 1, цi(2)= цi (t+ф, x0), i=(1, n), также является решением системы (4). При этом в точке t=0:

цi(1) (0)=цi (0, x1 (1), x2 (1),…, xn(1))=xi(1), i=(1, n);

цi(2) (0)=цi (ф, x1 (0), x2 (0),…, xn(0))=xi(1), i=(1, n).

Следовательно, решения цi(1) (t) и цi(2) (t) системы (4) удовлетворяют одним и тем же условиям. Тогда на основании теоремы единственности они совпадают. Тем самым справедливость равенства (7) доказана.

Наглядный смысл леммы 3 состоит в следующем: чтобы выяснить куда точка x0 переместится за время t+ф, надо выяснить, в какую точку она перейдет за время t, а затем куда эта вторая точка перейдет за время ф.

Определение. Пусть xi=цi(t), i=(1, n), - решение автономной системы (4), определенное на всей прямой - ? < t < + ?. Число С называется периодом решения xi=цi(t), i=(1, n), если цi (t+C)= цi(t), i=(1, n), при всех t R.

Пусть F - множество всех периодов решения xi=цi(t), i=(1, n), системы (4). Это множество непусто, так как 0 F.

Лемма4. а) Если С F, то - С F. б) Если C1 C2 F, то C1+ C2 F. в) F - замкнутое множество.

Доказательство. а) Поскольку С - период, то для любого t: цi (t+C)= цi(t)), i=(1, n). Заменяя в этом тождестве t на t-C, получим цi(t)= цi (t-C), i=(1, n), и это означает, что - С есть период.

б) цi (t+C1+С2)= цi (t+С1)=цi(t), i=(1, n)



в) Пусть C0 - произвольная предельная точка множества F. Тогда существует последовательность Cn из F такая, что limTnCn= C0. Тогда в силу непрерывности решения цi(t) имеем

цi (t+C0)= цi (t+limTnCn)= цi (limTn(t+Cn) =limTnцi (t+Cn)=limTnцi(t)= цi(t), i=(1, n)

Отсюда следует, что C0 F, значит, F есть замкнутое множество.

Решение системы (4) вида xi=ai, i=(1, n) где ai - постоянные, называется положением равновесия или точкой покоя. Ясно, что xi=ai, i=(1, n), является положением равновесия системы (1) только тогда, когда fi (a1, a2, …, an)=0, i=(1, n).

Теорема 1. Пусть траектория xi=цi(t), i=(1, n), автономной системы (4) сама себя пересекает, т.е. цi(t1)=цi(t2) i=(1, n) при t1?t2 И числа t1 и t2 принадлежит интервалу r1< t< r2 определения решения xi=цi(t), i=(1, n). Тогда решение xi=цi(t), i=(1, n), может быть продолжено на всю прямую - ? < t < + ? и имеет место одна из следующих возможностей: 1) для все t имеет место равенство цi(t)=ai, i=(1, n), т.е. решение цi(t) является положением равновесия, т.е. точка (ц1 (t), ц2 (t), …, цn(t)) не движется при изменении t, а стоит на месте;

2) существует число Т>0 такое, что при любом t имеет место равенство

цi (t+T)=цi(t), i=(1, n),

но при 0 <|t¬1-t2|<T хотя бы для одного I, i=(1, n), имеет место неравенство цi(t1)? цi(t2).

В случае 2) решение xi=цi(t), i=(1, n), системы (4) называется периоди...