*-Алгебры и их применение

Основные понятия и определения. * - алгебры. Представления. Тензорные произведения. Задача о двух ортопроекторах. Два ортопроектора в унитарном пространстве, в сепарабельном гильбертовом пространстве. Спектр суммы двух ортопроекторов.
Краткое сожержание материала:

56

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

	студент 5 курса специальности математика _________________________________ НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: ассистент каф. алгебры и функционального анализа _________________________________ профессор, доктор физико-математических наук _________________________________ РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ: зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н. _________________________________

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P₂ ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P₂ …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р₁ +Р₂ …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = аР₁ + bР₂ (0<а<b) ……………………..53

Заключение………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Н - гильбертово пространство, L(Н) - множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А - операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) - перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P₂

P₂ = С < p₁, p₂ | p₁² = p₁* = p₁, p₂² = p₂* = p₂ >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P₂, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления р в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ . Неприводимые *-представления P₂ одномерны и двумерны:

4 одномерных: р_0,0(p₁) = 0, р_0,0(p₂) = 0; р_0,1(p₁) = 0, р_0,1(p₂) = 1;

р_1,0(p₁) = 1, р_1,0(p₂) = 0; р_1,1(p₁) = 1, р_1,1(p₂) = 1.

И двумерные: , ф (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно р подпространств Н, а также получено разложение р на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р_1, Р₂, применяется к изучению сумм Р₁+Р₂, аР₁+bР₂ (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р₁+Р₂ или А = аР₁+bР₂, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Глава I. Основные понятия и определения

§ 1. - алгебры

1.1. Определение - алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

1) А е...