Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
3-е изд., испр. и доп. - М.: Высшая школа,
1967.— 565 с.
В книге даются основные понятия и определения теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы
интегрирования, доказываются теоремы существования решений и исследуются
свойства последних. Являясь учебником для студентов университетов, она может
быть использована в педагогических институтах и в технических вузах, а также
студентами-заочниками и лицами, самостоятельно изучающими теорию обыкновенных
дифференциальных уравнений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Глава первая
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Уравнения, интегрируемые в квадратурах 13
§ 1. Основные понятия и определения 13
1. Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном, относительно производной (13). 2. Решение уравнения (И). 3. Неявное и параметрическое задания решения (15). 4. Геометрическое истолкование (16). 5. Задача Коши (21). 6. Достаточное условие существования решения задачи Коши (24). 7. Достаточные условия существования н единственности решения задачи Коши (25). 8. Общее решение (28). 9. Общий интеграл. Общее решение в параметрической форме (31). 10. Частное решение (32). II. Особое решение (33). 12. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по дифференциальному уравнению (35). 13. Отсутствие особых решений у уравнения первого порядка с правой частью, рациональной относительно у (36). 14. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (37). 15. Нахождение кривых, подозрительных иа особое решение в процессе построения общего решения (общего интеграла) (41). 10. Понятие об интеграле дифференциального уравнения (41). 17. Теорема о зависимости любых двух интегралов одного и того же уравнения (46). 18. Замечание об интегрируемости в квадратурах (48).
§ 2. Неполные уравнения 50
19. Уравнение, не содержащее искомой функции (50). 20. Уравнение, не содержащее независимой переменной (52)
§ 3. Уравнение с разделяющимися переменными 55
21. Построение общего интеграла (55). 22. Особые решения (58). 23. Примеры (58)
§ 4. Однородное уравнение 60
24. Построение общего интеграла (6Л). 25. Особые решения (62). 2G. Примеры (62). 27. Геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения (63). - 28. Простейшее уравнение, приводящееся к однородному (65)
§ 5. Обобщенное однородное уравнение 66
29. Построение общего интеграла. Особые решения (66). 30. Пример (68)
§ 6. Линейное уравнение 68
31. Понятие о линейном уравнении (68). 32. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства линейного уравнения (60). 33. Построение общего решения однородного линейного уравнения (71). 34. Свойства решений однородного линейного уравнения (74). 35. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения (75). 36. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) (76). 37. Примеры (80). 38. Геометрическое свой¬ство интегральных кривых линейного уравнения (81)
§ 7. Уравнение Бернулли 83
39. Построение общего решения (83). 40. Особое решение (83). 41. Пример (41)
§ 8. Уравнение Дарбу 85
42. Построение общего интеграла. Особые решения (85). 43. Пример (85).
§ 9. Уравнение Риккати 86
44. Существование и единственность решения задачи Коши (8RK 45. Общие свойства уравнения Риккати (88). 46. Приведение уравнения Риккати к каноническому виду (89). 47. Простейшие случаи интегрируемости в квадратурах (90). 48. Построение общего решения в случае, когда "известно одно частное решение (91). 49. Структура общего решения (93). 50. Построение общего решения в случае, когда известны два или три частных решения (94). 51. Специальное уравнение Риккати (94)
§ 11. Уравнение, в полных дифференциалах 96
52. Понятие об уравнении в полных дифференциалах (96). 53. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла (98). 54. Решение задачи Коши (100)
§ 12. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя 101
55. Понятие об интегрирующем множителе (101). 56. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от х (103). 57. Случай интегрирующею множителя, зависящего только от #-(104). 58. Случай интегрирующего множителя яшца и.— «А [ш (х, у)\ (104). 59. Интегрирующий множитель и особые решения (103). 60. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися непеменными (106). 61. Интегрирующий множитель однородного уравнения (106)
§ 13. Интегрирующий множитель. Общая теория 108
62. Теорема о существовании интегрирующего множителя (108). 63. Теорема о неединственности интегрирующего множителя (109). 64. Теорема об общем виде интегрирующего множителя и се следствие (110). 65. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя (112).
Глава вторая
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения, интегрируемые в квадратурах ИЗ
§ 1. Основные понятия и определения ИЗ
77. Общий случай уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной (ИЗ). 67. Примеры (118). 68. Нахождение кривых подозрительных па особое решение по дифференциальному уравнению (122). 69. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (124)
§ 2. Неполные уравнения 125
70. Уравнение, содержащее только производную (125). 71. Уравнение, не содержащее искомой функции (127). 72. Уравнение, не содержащее независимой переменной (131). 73. Обобщенное однородное уравнение (132)
§ 3. Общий метод введения параметра 133
74. Приведение уравнения, . не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Общий случай (133). 75. Случай, когда уравнение разрешимо относительно искомой функции (134). 76. Случай, когда уравнение разрешимо относительно независимой переменной (135). 77. Уравнение Лагранжа (136) 78. Уравнение Клеро (138)
§ 4. Задача о траекториях 141
79. Зачача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат (141). 80. Примеры (143). 81. Случай полярных координат
Глава третья
Уравнения высших порядков. Общие вопросы. Простейшие уравнения n-го порядка 48
§ 1. Основные понятия и определения 148
82. Предварительные замечания (148). 83. Геометрическое истолкование (149). 84. Механическое истолкование уравнения второго порядка (149). 85. Задача Коши (150). 86. Достаточные услогшя существования и единственности решения задачи Коши (153). 87. Понятие о граничной (краевой) задаче (154). 88. Общее решение (156). 89. Общий интеграл (157). 90. Общее решение в параметрической форме (158). 91. Частное решение (158). 92. Особое решение (158). 93. Промежуточные интегралы. Первые интегралы (159). 94. Замечание об уравнения n-го порядка, не разрешенном относительно старшей производной (160).
§ 2. Уравнения, интегрируемые в квадратах, и уравнения, допускающие понижение порядка 161
95. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка п (161). 96. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных (168). 97. Уравнение, не содержащее независимой переменной (171). 98. Уравнение, однородное относительно искомой функции н ее производных (173). 99. Обобщенное однородное уравнение (174). 100. Уравнение, левая часть которого есть точная производная (177)
Глава четвертая
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие вопросы. 180
§ 1. Нормальные системы дифференциальных уравнений 180
101. Понятие о нормальной системе. Линейная система (180). 102. Решение системы (181). 103. Геометрическое истолкование нормальной системы (182). 104. Механическое истолкование нормальной системы (183). 105. Задача Коши (180). 106. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (188). 107. Общее решение (189). 108. Частное решение (191). 109. Особое решение (191). ПО. Понятие об интеграле нормальной сис1емы. Первые интегралы. Общий интеграл. Число независимых интегралов (192). 111. Понижение порядка системы при помощи первых интегралов (203). 112. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка и обратная задача (205). 113. Одни общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши — Римана (210). 114. Понятие с системе уравнений высших порядков (211). 115. Построение всего множества нормальных систем дифференциальных, уравнений, имеющих заданную траекторию (213)
§ 2. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме 216
116. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приведение нормальной системы к системе в симметрической форме (216). 117. Интегралы, первые интегралы и общий интеграл системы дифференциальных уравнений в симметрической форме (218).
Глава пятая
Теоремы существования 225
§ 1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара) 225
118. Предварительные замечания (225). 119. Формулировка теоремы Пикара для нормальной системы уравнений (227). 120. Доказательство теоремы Пикара для нормальной системы двух уравнений (229). 121. Замечание о выборе нулевого приближения (241). 122. Случай одностороннего интервала изменения независимой переменной (241). 123. Случай области, не ограниченной по искомым функциям (242). 124. Случай области, не ограниченной по всем переменным (243). 125. О продолжении решения, определяемого теоремой Пикара (247). 126. Теорема Пикара для линейной системы дифференциальных уравнений (250). 127....
1967.— 565 с.
В книге даются основные понятия и определения теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы
интегрирования, доказываются теоремы существования решений и исследуются
свойства последних. Являясь учебником для студентов университетов, она может
быть использована в педагогических институтах и в технических вузах, а также
студентами-заочниками и лицами, самостоятельно изучающими теорию обыкновенных
дифференциальных уравнений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Глава первая
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Уравнения, интегрируемые в квадратурах 13
§ 1. Основные понятия и определения 13
1. Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном, относительно производной (13). 2. Решение уравнения (И). 3. Неявное и параметрическое задания решения (15). 4. Геометрическое истолкование (16). 5. Задача Коши (21). 6. Достаточное условие существования решения задачи Коши (24). 7. Достаточные условия существования н единственности решения задачи Коши (25). 8. Общее решение (28). 9. Общий интеграл. Общее решение в параметрической форме (31). 10. Частное решение (32). II. Особое решение (33). 12. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по дифференциальному уравнению (35). 13. Отсутствие особых решений у уравнения первого порядка с правой частью, рациональной относительно у (36). 14. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (37). 15. Нахождение кривых, подозрительных иа особое решение в процессе построения общего решения (общего интеграла) (41). 10. Понятие об интеграле дифференциального уравнения (41). 17. Теорема о зависимости любых двух интегралов одного и того же уравнения (46). 18. Замечание об интегрируемости в квадратурах (48).
§ 2. Неполные уравнения 50
19. Уравнение, не содержащее искомой функции (50). 20. Уравнение, не содержащее независимой переменной (52)
§ 3. Уравнение с разделяющимися переменными 55
21. Построение общего интеграла (55). 22. Особые решения (58). 23. Примеры (58)
§ 4. Однородное уравнение 60
24. Построение общего интеграла (6Л). 25. Особые решения (62). 2G. Примеры (62). 27. Геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения (63). - 28. Простейшее уравнение, приводящееся к однородному (65)
§ 5. Обобщенное однородное уравнение 66
29. Построение общего интеграла. Особые решения (66). 30. Пример (68)
§ 6. Линейное уравнение 68
31. Понятие о линейном уравнении (68). 32. Существование и единственность решения задачи Коши. Общие свойства линейного уравнения (60). 33. Построение общего решения однородного линейного уравнения (71). 34. Свойства решений однородного линейного уравнения (74). 35. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения (75). 36. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) (76). 37. Примеры (80). 38. Геометрическое свой¬ство интегральных кривых линейного уравнения (81)
§ 7. Уравнение Бернулли 83
39. Построение общего решения (83). 40. Особое решение (83). 41. Пример (41)
§ 8. Уравнение Дарбу 85
42. Построение общего интеграла. Особые решения (85). 43. Пример (85).
§ 9. Уравнение Риккати 86
44. Существование и единственность решения задачи Коши (8RK 45. Общие свойства уравнения Риккати (88). 46. Приведение уравнения Риккати к каноническому виду (89). 47. Простейшие случаи интегрируемости в квадратурах (90). 48. Построение общего решения в случае, когда "известно одно частное решение (91). 49. Структура общего решения (93). 50. Построение общего решения в случае, когда известны два или три частных решения (94). 51. Специальное уравнение Риккати (94)
§ 11. Уравнение, в полных дифференциалах 96
52. Понятие об уравнении в полных дифференциалах (96). 53. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла (98). 54. Решение задачи Коши (100)
§ 12. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя 101
55. Понятие об интегрирующем множителе (101). 56. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от х (103). 57. Случай интегрирующею множителя, зависящего только от #-(104). 58. Случай интегрирующего множителя яшца и.— «А [ш (х, у)\ (104). 59. Интегрирующий множитель и особые решения (103). 60. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися непеменными (106). 61. Интегрирующий множитель однородного уравнения (106)
§ 13. Интегрирующий множитель. Общая теория 108
62. Теорема о существовании интегрирующего множителя (108). 63. Теорема о неединственности интегрирующего множителя (109). 64. Теорема об общем виде интегрирующего множителя и се следствие (110). 65. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя (112).
Глава вторая
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Уравнения, интегрируемые в квадратурах ИЗ
§ 1. Основные понятия и определения ИЗ
77. Общий случай уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной (ИЗ). 67. Примеры (118). 68. Нахождение кривых подозрительных па особое решение по дифференциальному уравнению (122). 69. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение (124)
§ 2. Неполные уравнения 125
70. Уравнение, содержащее только производную (125). 71. Уравнение, не содержащее искомой функции (127). 72. Уравнение, не содержащее независимой переменной (131). 73. Обобщенное однородное уравнение (132)
§ 3. Общий метод введения параметра 133
74. Приведение уравнения, . не разрешенного относительно производной, к уравнению, разрешенному относительно производной. Общий случай (133). 75. Случай, когда уравнение разрешимо относительно искомой функции (134). 76. Случай, когда уравнение разрешимо относительно независимой переменной (135). 77. Уравнение Лагранжа (136) 78. Уравнение Клеро (138)
§ 4. Задача о траекториях 141
79. Зачача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат (141). 80. Примеры (143). 81. Случай полярных координат
Глава третья
Уравнения высших порядков. Общие вопросы. Простейшие уравнения n-го порядка 48
§ 1. Основные понятия и определения 148
82. Предварительные замечания (148). 83. Геометрическое истолкование (149). 84. Механическое истолкование уравнения второго порядка (149). 85. Задача Коши (150). 86. Достаточные услогшя существования и единственности решения задачи Коши (153). 87. Понятие о граничной (краевой) задаче (154). 88. Общее решение (156). 89. Общий интеграл (157). 90. Общее решение в параметрической форме (158). 91. Частное решение (158). 92. Особое решение (158). 93. Промежуточные интегралы. Первые интегралы (159). 94. Замечание об уравнения n-го порядка, не разрешенном относительно старшей производной (160).
§ 2. Уравнения, интегрируемые в квадратах, и уравнения, допускающие понижение порядка 161
95. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка п (161). 96. Уравнение, не содержащее искомой функции, и уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных (168). 97. Уравнение, не содержащее независимой переменной (171). 98. Уравнение, однородное относительно искомой функции н ее производных (173). 99. Обобщенное однородное уравнение (174). 100. Уравнение, левая часть которого есть точная производная (177)
Глава четвертая
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие вопросы. 180
§ 1. Нормальные системы дифференциальных уравнений 180
101. Понятие о нормальной системе. Линейная система (180). 102. Решение системы (181). 103. Геометрическое истолкование нормальной системы (182). 104. Механическое истолкование нормальной системы (183). 105. Задача Коши (180). 106. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши (188). 107. Общее решение (189). 108. Частное решение (191). 109. Особое решение (191). ПО. Понятие об интеграле нормальной сис1емы. Первые интегралы. Общий интеграл. Число независимых интегралов (192). 111. Понижение порядка системы при помощи первых интегралов (203). 112. Приведение уравнения n-го порядка к системе уравнений первого порядка и обратная задача (205). 113. Одни общий способ интегрирования нормальной системы двух уравнений, правые части которых удовлетворяют условиям Коши — Римана (210). 114. Понятие с системе уравнений высших порядков (211). 115. Построение всего множества нормальных систем дифференциальных, уравнений, имеющих заданную траекторию (213)
§ 2. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме 216
116. Понятие о системе обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме. Приведение нормальной системы к системе в симметрической форме (216). 117. Интегралы, первые интегралы и общий интеграл системы дифференциальных уравнений в симметрической форме (218).
Глава пятая
Теоремы существования 225
§ 1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара) 225
118. Предварительные замечания (225). 119. Формулировка теоремы Пикара для нормальной системы уравнений (227). 120. Доказательство теоремы Пикара для нормальной системы двух уравнений (229). 121. Замечание о выборе нулевого приближения (241). 122. Случай одностороннего интервала изменения независимой переменной (241). 123. Случай области, не ограниченной по искомым функциям (242). 124. Случай области, не ограниченной по всем переменным (243). 125. О продолжении решения, определяемого теоремой Пикара (247). 126. Теорема Пикара для линейной системы дифференциальных уравнений (250). 127....
Другие файлы:
Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
В книге даются основные понятия и определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагаются наиболее важные методы интегрирования, доказы...
Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Книга предназначается в качестве пособия по курсовым и дипломным работам для студентов-математиков университетов. Может быть использована аспирантами...
Численный анализ
В книге описаны методы нахождения корней алгебраических уравнений n-й степени, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, систе...
Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений
В книге излагаются асимптотические методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами, встречающихся во м...
Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями
В книге рассматриваются основные направления теории обыкновенных дифференциальных уравнений и практические методы решения таких уравнений. Значительна...
