Математика в экономике.
М.: 2000.— 356 с.
Экономисту необходимо знать математику.
Математический аппарат — важный инструмент экономического анализа, организации и
управления. Пособие составлено в виде лекций, объединенных по темам. В конце
каждой лекции приведены решения типовых задач, а также задания для
самостоятельной работы. Предназначено для студентов экономических факультетов
вузов.
Содержание
Введение 3
ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 1. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ В ЭКОНОМИКЕ^, , 6
1.1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ Б
1. Начальные сведения о векторах , 6
2. Действия с векторами 7
3. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов
4. Пространство товаров, вектор цен
Задачи 11
1.3. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 12
1. Начальные сведения о матрицах 12
2. Действия с матрицами 13
3. Технологическая матрица и задача оптимального планирования 15
4. Матрицы и линейные преобразования , 17
Задачи 18
1.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) 20
1, Начальные сведения о СЛАУ , 20
2, Векторная и матрично-векторная запись СЛАУ , 21
3, Определитель матрицы 23
4, Решение СЛАУ с помощью определителей , 54
Б. Обратная матрица 25
Задачи 2S
Тема 2. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 28
2.1. ПРЯМЫЕ ПИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ ПИНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ 29
1, Прямая линия на плоскости, различные аидыуравнений прямой.,,, 29
2. Линайные функции спроса и предложения,
определение равновесной цены , , , 31
3. Бюджетное множество 31
4, Плоскости и прямые линии в пространстве 33
Задачи - 34
3.2. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ I. 35
1, Ввжнайшиа кривые 2-го порядка 36
2, Оптические и геометрические свойства кривых 2-го порядка 38
3. Полярная система координат 39
4. Параметрические уравнения линии > 41
Звдачи , >1 4*
Тема 3. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 43
3.1. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ 43
1. Задача оптимального планировании
2. Некоторые общие сведения о линейном программировании 44
3. Решение задач ЛП с двумя переменными графическим методом !., 46
4. Задачи целочисленного ЛП 48
Эвдачи 48
3.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 1
1. Звдэчэ торге 50
2. Симметричная пара двойственных задач 51
3. Теоремы двойств внности ., , , 52
4. Экономическое содержание теории двойственности , 54
Задачи ; 56
3.3, МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА И НЕЙМАНА 58
1. Модель Леонтьева 58
2. Теория трудовой стоимости Маркса в модели Леонтьева ВО
3. Модель Неймана , , 62
Задачи _ 63
Тема 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 64
4.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ „ 64
1. Элементы теории множеств 64
2. Последовательности , 65
3. Предел поспедоватепьности и сумма ряда 68
4. Паутинообразная модель рынка : 68
5. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева , . 69
Задачи 70
4.S. .ФУНКЦИИ 71
1. Общае понятие функции 71
2. Некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике 72
3. Элементарные функции 73
4. Свойства функций одного паремвнного , 75
Задачи 75
4.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ , , 78
1. Определение предела функции 78
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 79
3. Основные свойства пределов
4. Первый и второй замечательные пределы ;
4.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Z 82
1. Определение непрерывности функции. Точки разрыве 83
2. Свойства непрерывных функций °z
3. Экономическая интерпретация непрерывности
Задачи ««-»»». °°
Тема 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ . ВЕЛИЧИНЫ В ЭКОНОМИКЕ 8'
5.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ' 87
1. Определение производной функции, ее физический
и геометрический смысл So
2. Применение производной в экономике
3. Правила дифференцироввния (нахождения производных функций) ="
Задачи »• „о
5.2. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ
1. Теоремы D дифференцируемых функциях
2. Дифференциал функции д6
3. Формула и многочлан Тейлора д^
Эедачи '
Тема 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 97
6.1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ И ИХ НАХОЖДЕНИЕ 97
1. Экстремум функции и его нахождение Э7
2. Формула Уилсона да
3. Теория одноресурсной фирмы gg
4. Прибыль фирмы и обьвм поступления налогов государству
при двнной налоговой стввкв „,„ Ю2
5. Экстремумы выпуклых и вогнутых функций 103
Задачи ЮЗ
В.а. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 104 '
1. Возрастание и убывание функций 104
2, Выпуклость и вогнутость графика функции, Точки перегиба 104
3. План исследования функции и построения ве графика 105
4, Нахождение нулей функции, приближвнное решвние уравнвний 106
Эадвчи 107
ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ
Тема 7. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 109
7.1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 109
1 Определение функции многих переменных , 109
2. Способы звдвния функции многих пераменных 110
3, Некоторые многомерные функции, используемые в экономике 112
Задачи 113
7.2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 114
1. Иврархия пространств 114
2. Евклидово пространство 115
3. Топология евклидова пространства 117
4. Свойства функции, заданных в евклидовом пространстве 119
Эедачи 121
Тема 8. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 122
8.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 122
1. Частные проиэводныв 122
2. Частные производные 2-го и высших порядков 123
3. Экономический смысл чвстных производных 124
Задачи • 125
8.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ,
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 127
1, Диффврвнцирувмость функций нвскопьких первменных 127
£. Геометрический смысп1-го дифференциала '. 128
3. Производная по направлению, градивнт функции 129
4. Линеэриэвция сложных зависимаствй - 130
5. Дифференциальные свойства функции полвзнасти 131
Задвчи ' 132
Тема 9. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ 133
9,1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 133
1. Экстремум функции и его нахождение 133
2. Достаточнов условив экстремума " 34
3. Условный экстремум, метод множителей Лагрвнжа 136
4. Задача оптимизации выбора потравителя " 36
5. Характеристика точки спроса ^38
Задачи 1da
9.2. «ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО» ЭКОНОМИКИ 140
1. «Золотое правило» экономики для одноресурсной фирмы. , 140
2. «Золотое правило» экономики для многоресурсной фирмы 143
Задачи (45
3.3. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАМИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНЬМЙКЕ"- 146
1. Понятие многокритериальной оптимизационной задачи 146
2. Оптимальность по Парето 147
3. Модель обмена, цены , , 148
4. Ящик Эджворта 149
Задачи 151
Тема 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 152
10.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 15Э
1. Дифференцирование и интегрирование—взаимно обратные операции. , 153
2. Геометрическое понимание интеграла 155
3. Таблица основных интегралов., 156
4. Простейшие правила интегрирования 157 ч
5. Интегрирование путем замены переменной , 157
6. Интегрирование по частям „ 158
Задачи 158
10.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА , 159
1. Площадь криволинейной трапеции 159
2. Определение определенного интеграла 160
3. Свойства определенного интеграла 161
4. Теорема о среднем значении 163
5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом > 163
6. Основная формула интегрального исчисления , 185
7. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле 167
Задачи 166
10.3.ПРИЛ0ЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА -.. 169
1. Длина кривой, площадь фигуру и обьем тела 169
2. Механические и физические приложения 172
3. Экономические и другие иллюстрации к понятию интеграла 172
Задачи 11?6
Тема 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 173
11.1. НЕСОБСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 178
1. Определение интегралов с бесконечными пределами 17°
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций ,„ ;. 180
3. Двойные интегралы, определение * °°
4. Сведение двойного интеграла к повторному 181
5. Тройные интегралы
Задачи.
Тема 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1/1 РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1Э5
12. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ^°5
1, Определение дифференциального уравнения *... ' °°
2, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям т°о.
3, Уравнения 1 -го порядка, разрешенные относительно производной i о а
4, Уравнения с разделяющимися переманными ™
5, Линейные уравнения 1 -го порядка, уравнение Бврнулли, ' |^
Задачи ,.
Тема 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
13.1. МОДЕЛИ ЭЭАНСА И СОПОУ 1 да
1. Модель Званое , , , 92
2. Параметры модали Солоу , , ' 194
3. Стационарные траектории в модели Солоу 19В
4. «Золотое правило» экономического роста.. .'. .', , 197
Задачи , , '"„ 198
13.В. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ „ „ , 19В
1. Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений , 199
2. Теорема существования и единственности решения 199
3. Понятие об устойчивости решений дифференциального уравнения 20Q
4. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков
и системах дифференциальных уравнений , 901
Задача „ , „ 903
Тема 14. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 204
14.1, ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ , 204
1. Сумма ряда , , 204
2. Свойства и признаки сходящихся рядов 20В
3. Признаки...
Экономисту необходимо знать математику.
Математический аппарат — важный инструмент экономического анализа, организации и
управления. Пособие составлено в виде лекций, объединенных по темам. В конце
каждой лекции приведены решения типовых задач, а также задания для
самостоятельной работы. Предназначено для студентов экономических факультетов
вузов.
Содержание
Введение 3
ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Тема 1. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ В ЭКОНОМИКЕ^, , 6
1.1. ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ Б
1. Начальные сведения о векторах , 6
2. Действия с векторами 7
3. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов
4. Пространство товаров, вектор цен
Задачи 11
1.3. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 12
1. Начальные сведения о матрицах 12
2. Действия с матрицами 13
3. Технологическая матрица и задача оптимального планирования 15
4. Матрицы и линейные преобразования , 17
Задачи 18
1.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) 20
1, Начальные сведения о СЛАУ , 20
2, Векторная и матрично-векторная запись СЛАУ , 21
3, Определитель матрицы 23
4, Решение СЛАУ с помощью определителей , 54
Б. Обратная матрица 25
Задачи 2S
Тема 2. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 28
2.1. ПРЯМЫЕ ПИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ ПИНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ 29
1, Прямая линия на плоскости, различные аидыуравнений прямой.,,, 29
2. Линайные функции спроса и предложения,
определение равновесной цены , , , 31
3. Бюджетное множество 31
4, Плоскости и прямые линии в пространстве 33
Задачи - 34
3.2. ВАЖНЕЙШИЕ КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ I. 35
1, Ввжнайшиа кривые 2-го порядка 36
2, Оптические и геометрические свойства кривых 2-го порядка 38
3. Полярная система координат 39
4. Параметрические уравнения линии > 41
Звдачи , >1 4*
Тема 3. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ 43
3.1. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ 43
1. Задача оптимального планировании
2. Некоторые общие сведения о линейном программировании 44
3. Решение задач ЛП с двумя переменными графическим методом !., 46
4. Задачи целочисленного ЛП 48
Эвдачи 48
3.2. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 1
1. Звдэчэ торге 50
2. Симметричная пара двойственных задач 51
3. Теоремы двойств внности ., , , 52
4. Экономическое содержание теории двойственности , 54
Задачи ; 56
3.3, МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА И НЕЙМАНА 58
1. Модель Леонтьева 58
2. Теория трудовой стоимости Маркса в модели Леонтьева ВО
3. Модель Неймана , , 62
Задачи _ 63
Тема 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 64
4.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ „ 64
1. Элементы теории множеств 64
2. Последовательности , 65
3. Предел поспедоватепьности и сумма ряда 68
4. Паутинообразная модель рынка : 68
5. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева , . 69
Задачи 70
4.S. .ФУНКЦИИ 71
1. Общае понятие функции 71
2. Некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике 72
3. Элементарные функции 73
4. Свойства функций одного паремвнного , 75
Задачи 75
4.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИЙ , , 78
1. Определение предела функции 78
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 79
3. Основные свойства пределов
4. Первый и второй замечательные пределы ;
4.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ Z 82
1. Определение непрерывности функции. Точки разрыве 83
2. Свойства непрерывных функций °z
3. Экономическая интерпретация непрерывности
Задачи ««-»»». °°
Тема 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ . ВЕЛИЧИНЫ В ЭКОНОМИКЕ 8'
5.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ' 87
1. Определение производной функции, ее физический
и геометрический смысл So
2. Применение производной в экономике
3. Правила дифференцироввния (нахождения производных функций) ="
Задачи »• „о
5.2. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ
1. Теоремы D дифференцируемых функциях
2. Дифференциал функции д6
3. Формула и многочлан Тейлора д^
Эедачи '
Тема 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 97
6.1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ И ИХ НАХОЖДЕНИЕ 97
1. Экстремум функции и его нахождение Э7
2. Формула Уилсона да
3. Теория одноресурсной фирмы gg
4. Прибыль фирмы и обьвм поступления налогов государству
при двнной налоговой стввкв „,„ Ю2
5. Экстремумы выпуклых и вогнутых функций 103
Задачи ЮЗ
В.а. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 104 '
1. Возрастание и убывание функций 104
2, Выпуклость и вогнутость графика функции, Точки перегиба 104
3. План исследования функции и построения ве графика 105
4, Нахождение нулей функции, приближвнное решвние уравнвний 106
Эадвчи 107
ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ С ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ
Тема 7. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 109
7.1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 109
1 Определение функции многих переменных , 109
2. Способы звдвния функции многих пераменных 110
3, Некоторые многомерные функции, используемые в экономике 112
Задачи 113
7.2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 114
1. Иврархия пространств 114
2. Евклидово пространство 115
3. Топология евклидова пространства 117
4. Свойства функции, заданных в евклидовом пространстве 119
Эедачи 121
Тема 8. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 122
8.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 122
1. Частные проиэводныв 122
2. Частные производные 2-го и высших порядков 123
3. Экономический смысл чвстных производных 124
Задачи • 125
8.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ,
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 127
1, Диффврвнцирувмость функций нвскопьких первменных 127
£. Геометрический смысп1-го дифференциала '. 128
3. Производная по направлению, градивнт функции 129
4. Линеэриэвция сложных зависимаствй - 130
5. Дифференциальные свойства функции полвзнасти 131
Задвчи ' 132
Тема 9. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ 133
9,1. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 133
1. Экстремум функции и его нахождение 133
2. Достаточнов условив экстремума " 34
3. Условный экстремум, метод множителей Лагрвнжа 136
4. Задача оптимизации выбора потравителя " 36
5. Характеристика точки спроса ^38
Задачи 1da
9.2. «ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО» ЭКОНОМИКИ 140
1. «Золотое правило» экономики для одноресурсной фирмы. , 140
2. «Золотое правило» экономики для многоресурсной фирмы 143
Задачи (45
3.3. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАМИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНЬМЙКЕ"- 146
1. Понятие многокритериальной оптимизационной задачи 146
2. Оптимальность по Парето 147
3. Модель обмена, цены , , 148
4. Ящик Эджворта 149
Задачи 151
Тема 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 152
10.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 15Э
1. Дифференцирование и интегрирование—взаимно обратные операции. , 153
2. Геометрическое понимание интеграла 155
3. Таблица основных интегралов., 156
4. Простейшие правила интегрирования 157 ч
5. Интегрирование путем замены переменной , 157
6. Интегрирование по частям „ 158
Задачи 158
10.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА , 159
1. Площадь криволинейной трапеции 159
2. Определение определенного интеграла 160
3. Свойства определенного интеграла 161
4. Теорема о среднем значении 163
5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом > 163
6. Основная формула интегрального исчисления , 185
7. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле 167
Задачи 166
10.3.ПРИЛ0ЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА -.. 169
1. Длина кривой, площадь фигуру и обьем тела 169
2. Механические и физические приложения 172
3. Экономические и другие иллюстрации к понятию интеграла 172
Задачи 11?6
Тема 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 173
11.1. НЕСОБСТВЕННЫЕ И КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 178
1. Определение интегралов с бесконечными пределами 17°
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций ,„ ;. 180
3. Двойные интегралы, определение * °°
4. Сведение двойного интеграла к повторному 181
5. Тройные интегралы
Задачи.
Тема 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1/1 РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1Э5
12. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ^°5
1, Определение дифференциального уравнения *... ' °°
2, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям т°о.
3, Уравнения 1 -го порядка, разрешенные относительно производной i о а
4, Уравнения с разделяющимися переманными ™
5, Линейные уравнения 1 -го порядка, уравнение Бврнулли, ' |^
Задачи ,.
Тема 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
13.1. МОДЕЛИ ЭЭАНСА И СОПОУ 1 да
1. Модель Званое , , , 92
2. Параметры модали Солоу , , ' 194
3. Стационарные траектории в модели Солоу 19В
4. «Золотое правило» экономического роста.. .'. .', , 197
Задачи , , '"„ 198
13.В. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ „ „ , 19В
1. Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений , 199
2. Теорема существования и единственности решения 199
3. Понятие об устойчивости решений дифференциального уравнения 20Q
4. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков
и системах дифференциальных уравнений , 901
Задача „ , „ 903
Тема 14. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 204
14.1, ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ , 204
1. Сумма ряда , , 204
2. Свойства и признаки сходящихся рядов 20В
3. Признаки...
Другие файлы:
Егэ 2009 математика 12 книг для подготовки
61,9 МБ ЕГЭ-2009. Математика. Сдаем без проблем Креславская О.А. и дрЕГЭ 2009. Математика. Репетитор Кочагин В.ВЕГЭ 2009. Математика. Сборник заданий...
Математика в экономике. Учебник. В 2-х частях.
Математика в экономике. Учебник в 2-х частях. Часть 2
Ссылки для ознакомления...
Дискретная математика для информатиков и экономистов
Пособие состоит из семи глав, в которых последовательно излагаются основы теории множеств, отношений, математической логики и исчислений, комбинаторик...
43 лекции по линейной алгебре
Для студентов I курса бакалавриата, обучающихся по направлениям «Прикладная математика. Информатика», «Математика. Компьютерные науки», «Математика. П...
