Математика. Сборник задач по базовому курсу (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз).

М.: Фойлис, 2010. — 236 с.

Настоящий сборник составлен на основе задач
вступительных экзаменов по математике в МГУ имени М. В. Ломоносова и задач
единого государственного экзамена преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В.
Ломоносова. Содержит теоретический материал и подборку задач с ответами.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче
единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как
в МГУ, так и другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям
кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

   Оглавление
От редактора 6
Предисловие 7
Часть I: Алгебра 9
1. Преобразование алгебраических выражений, простейшие уравнения и неравенства 9
1.1. Формулы сокращённого умножения, преобразование алгебраических выражении 9
1.2. Сравнение чисел 12
1.3. Модуль числа и алгебраического выражения, уравнения и неравенства с модулем 13
1.4. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители, квадратные уравнения и неравенства, теорема Виета 17
2. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, простейшие системы уравнений 21
2.1. Рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов 21
2.2. Простейшие системы уравнений. Подстановка и исключение переменных при решении систем уравнений 24
2.3. Радикалы. Иррациональные уравнения и неравенства, равносильные преобразования 27
2.4. Смешанные задачи 31
3. Преобразование тригонометрических выражений, стандартные тригонометрические уравнения 32
3.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, формулы двойного и половинного аргументов 32
3.2. Простейшие тригонометрические уравнения. Разложение на множители, сведение к квадратному уравнению 35
3.3. Применение тригонометрических формул для сведения уравнений к простейшим 38
3.4. Различные задачи на отбор корней 42
4. Стандартные текстовые задачи 44
4.1. Пропорциональные величины 44
4.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 46
4.3. Скорость, движение и время 49
4.4. Работа и производительность 53
4.5. Проценты, формула сложного процента 54
5. Стандартные показательные и логарифмические уравнения и неравенства 57
5.1. Преобразование логарифмических выражений. Сравнение логарифмических и показательных значений 57
5.2. Простейшие показательные уравнения и неравенства, равносильные преобразования 60
5.3. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства, равносильные преобразования 64
5.4. Смешанные задачи 68
6. Линейные и однородные тригонометрические уравнения, системы тригонометрических уравнений, использование ограниченности тригонометрических функций 70
6.1. Линейные тригонометрические уравнения, метод вспомогательного аргумента 70
6.2. Однородные тригонометрические уравнения второй степени, замена тригонометрических выражений 72
6.3. Системы тригонометрических уравнений 75
6.4. Использование ограниченности тригонометрических функций, оценочные неравенства 80
7. Изображение множества точек на координатной плоскости, использование графических иллюстраций в уравнениях и неравенствах различных типов 84
7.1. Геометрические места точек, графики функций, правила линейных преобразований графиков 84
7.2. Плоские геометрические фигуры, применение метода координат 89
7.3. Использование графических иллюстраций при решении уравнений и неравенств 91
8. Элементы математического анализа 94
8.1. Производная, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций, основные правила дифференцирования функций 94
8.2. Исследование функций с помощью производной 98
8.3. Первообразные элементарных функций, основные правила нахождения первообразных. Вычисление площади плоской фигуры с помощью первообразной 102
9. Текстовые задачи 106
9.1. Скорость, движение и время 106
9.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 108
9.3. Концентрация, смеси и сплавы, массовые и объёмные доли . 111
9.4. Целые числа, перебор вариантов, отбор решений 114
10. Раскрытие модулей в уравнениях и неравенствах различных видов . 117
10.1. Различные приёмы раскрытия модулей, системы уравнений и неравенств с модулями 117
10.2. Раскрытие модулей в тригонометрических уравнениях 122
10.3. Раскрытие модулей в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах 125
11. Разложение на множители и расщепление в уравнениях и неравенствах различных видов 126
11.1. Понятие расщепления, равносильные преобразования 126
11.2. Расщепление в тригонометрических уравнениях и неравенствах 129
11.3. Расщепление в показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах, модифицированный метод интервалов . . 133
11.4. Смешанные задачи 137
Часть II: Геометрия 139
Планиметрия 139
1. Треугольники 139
1.1. Прямоугольные треугольники 139
1.2. Общие треугольники. Теоремы синусов, косинусов 143
1.3. Медиана, биссектриса, высота 148
1.4. Подобие треугольников. Теорема Фалеса 151
1.5. Площади 155
2. Окружности 160
2.1. Углы в окружностях. Касание окружности и прямой 160
2.2. Свойства касательных, хорд, секущих 164
2.3. Смешанные задачи 168
3. Многоугольники 172
3.1. Параллелограммы 172
3.2. Трапеции 175
3.3. Общие четырехугольники. Правильные многоугольники ... 179
4. Координаты и векторы 183
4.1. Декартовы координаты и векторы на плоскости 183
Стереометрия 190
Введение в стереометрию 190
5. Призма 194
5.1. Прямая призма 194
5.2. Наклонная призма 198
6. Пирамида 200
6.1. Правильная пирамида 200
6.2. Тетраэдр 202
6.3. Произвольные пирамиды 204
7. Тела вращения 206
7.1. Цилиндр 206
7.2. Конус 208
7.3. Шар 211
8. Координаты и векторы 215
8.1. Декартовы координаты и векторы в пространстве 215
Ответы 219
Литература 236
 ...