Краткий курс школьной математики.

СПб.: 2007. — 416 с.

В этой книге в очень доступной форме излагаются все
вопросы математики, которые необходимо знать выпускнику обычной средней школы,
даже если он не поступает в высшее учебное заведение, а просто хочет неплохо
знать математику, быть математически грамотным. Ведь еще великий Ломоносов
говорил, что «математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит».
Ну а тому выпускнику, который собирается сдавать вступительные экзамены или
тесты по математике и потом успешно учиться в вузе, данная книга поможет
основательно подготовиться и сдать вступительные экзамены на «хорошо» или
«отлично». Только необходимо самостоятельно или под руководством учителя
добросовестно и глубоко изучить все темы и вопросы, разобраться с решением
приведенных упражнений, прорешать все упражнения для самостоятельной работы или
большую их часть.

        Что надо знать по алгебре и началам анализа.
I. Основные законы арифметики и алгебры 16
П. Некоторые вопросы теории множеств 17
Ш. Числовые множества и их свойства 19
IV. Формулы сокращенного умножения. Треугольник Паскаля 21
V. Разложение многочленов на множители. Способы разложения. Деление многочленов 22
VI. Степень числа и его свойства. Действия со степенями 24
VII. Модуль числа и его свойства 27
VIII. Арифметический корень n-ой степени и его свойства. Действия с корнями, упрощение степеней с дробными показателями 28
IX. Некоторые вопросы теории уравнений. Линейные уравнения 33
X. Числовые неравенства и их свойства. Действия с неравенствами. Доказательство неравенств. Решение линейных неравенств, совокупностей и систем неравенств с одной переменной, в том числе - с модулями 40
XI. Некоторые вопросы теории функций 52
XII. Некоторые алгебраические функции и их графики 57
(1) Линейная функция 57
(2) Обратная пропорциональность 61
(3) Степенная функция 63
(4) Графики функций с модулем 67
(5) Построение различных графиков функций 68
ХШ. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители 74
XIV. График квадратного трехчлена, в том числе - с модулем 84
XV. Решение квадратных и дробно - линейных неравенств. Дробно - рациональные неравенства и неравенства высших степеней 93
XVI. Иррациональные уравнения и неравенства 101
XVII. Системы линейных уравнений и методы их решения. Правила Крамера. Метод Гаусса 109
XVIII. Нелинейные системы 121
XIX. Арифметическая и геометрическая прогрессии, бесконечная убывающая геометрическая прогрессия 131
XX. Тригонометрия 144
(1) Единичная числовая окружность. Радианное измерение угловых величин. Формулы длины окружности и площади кругового сектора. Определение тригонометрических функций, их области определения и множества значений 144
(2) Основные тригонометрические тождества 146
(3) Знаки тригонометрических функций по четвертям 146
(4) Значения тригонометрических функций некоторых основных углов 147
(5) Четность тригонометрических функций 147
(6) Периодичные функции. Периодичность тригонометрических функций 148
(7) Формулы приведения 149
(8) Графики тригонометрических функций 150
(9) Оси тангенсов и котангенсов 161
(10) Тригонометрические формулы сложения 162
(11) Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени 163
(12) Формулы половинного аргумента 164
(13) Преобразование сумм и разностей тригонометрических функций в произведения 165
(14) Преобразование произведений тригонометрических функций 167
(15) Выражения sina и cosa через tga/2 168
(16) Условия равенства тригонометрических функций 169
(17) Формулы вспомогательного аргумента 169
(18) Обратные тригонометрические функции (Аркфункции) 171
(19) Формулы тригонометрических уравнений 175
(20) Классификация тригонометрических уравнений 181
(21) Тригонометрические неравенства 194
(22) Формулы аркфункции 200
(23) Гармонические колебания. Графики гармонических колебаний 202
XXI. Производная и ее применение 209
(1) Определение производной, ее физический (механический) смысл 209
(2) Основные правила нахождения производных 210
(3) Производные постоянной, линейной, квадратичной и степенной функций 210
(4) Таблица производных 211
(5) Уравнение касательной к кривой. Геометрический смысл производной 215
(6) Применение производной в физике 218
(7) Применение производной при исследовании функций 219
(8) Отыскание наибольших и наименьших значений функции на отрезке 225
(9) Задачи на наибольшие и наименьшие значения 226
XXII. Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения и неравенства 231
ХХШ. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифм числа и его свойства. Решение логарифмических и показательно-логарифмических уравнений и неравенств.
Различные интересные графики, связанные с показательной и логарифмической функциями 235
XXIV. Текстовые задачи 257
XXV. Решение упражнений вступительных экзаменов и вступительных тестов по математике различных вузов России 268


Что надо знать по геометрии.
I. Краткий обзор планиметрии 286
(1) Треугольники 286
1. Виды треугольников в зависимости от углов, сторон 286
2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольников 286
3. Свойства равнобедренного треугольника 286
4. Признаки равенства треугольников 286
5. Сумма углов треугольника 287
6. Соотношение между сторонами и углами треугольника 287
7. Некоторые свойства прямоугольных треугольников 287
8. Признаки равенства прямоугольных треугольников 287
9. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников 287
10. Средняя линия треугольника 288
11. Теорема Пифагора 288
12. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике 288
13. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника 289
14. Решение прямоугольных треугольников 289
15. Свойства биссектрисы треугольника 290
16. Формула медианы 290
17. Теорема синусов 291
18. Теорема косинусов 291
19. Решение треугольников 291
20. Четыре замечательные точки треугольника 292
(2) Параллельные прямые 295
1. Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей 295
2. Аксиома параллельных прямых (Евклида) 295
3. Признаки параллельности двух прямых 295
4. Теорема Фалеса 296
(3) Четырехугольники 297
1. Сумма углов выпуклого многоугольника (n-угольника) 297
2. Определение трапеции. Средняя линия трапеции 297
3. Определение параллелограмма. Признаки парал¬лелограмма 297
4. Свойства параллелограмма 298
5. Прямоугольник и его свойства 298
6. Ромб и его свойства 298
7. Квадрат и его свойства 298
8. Метрические соотношения в параллелограмме 299
(4) Площадь 299
1. Понятие площади. Аксиомы площади 299
2. Формулы площади треугольника 299
3. Формулы площади параллелограмма 300
4. Формулы площади ромба 300
5. Формулы площадей треугольника и квадрата 300
6. Формулы площади трапеции 300
7. Формулы площади произвольного четырехугольника 300
8. Формулы площади круга и кругового сектора 301
(5) Окружность 301
1. Определение окружности. Радиус, хорда, диаметр, секущая 301
2. Касательная к окружности. Свойства касательной 301
3. Центральные и вписанные углы. Теорема о вписанном угле. Следствия 302
4. Метрические соотношения в окружности 303
5. Вписанный и описанный треугольники 303
6. Вписанный и описанный четырехугольники 304
7. Формулы радиусов окружностей, вписанной и описанной около треугольника 304
8. Правильный многоугольник, описанная около него и вписанная в него окружность 305
9. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его сторон и радиусов вписанной и описанной окружностей 306
10. Длина окружности и длина дуги окружности 306
11. Уравнение окружности 306
(6) Векторы 307
1. Понятие вектора. Коллинеарные и равные векторы 307
2. Сложение и вычитание векторов, свойства 308
3. Умножение вектора на число, свойства 310
4. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства 310
(7) Движения 312
1. Отображение плоскости на себя. Понятие движения 312
2. Осевая симметрия 312
3. Центральная симметрия 313
4. Поворот 313
5. Параллельный перенос 314
(8) Гомотетия 314
(9) Решение различных планиметрических задач 315
П. Основные определения и теоремы стереометрии 332
(1) Основные аксиомы стереометрии и следствия из них 332
(2) Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых 333
(3) Признак параллельности прямой и плоскости 333
(4) Признак параллельности двух плоскостей 334
(5) Свойства параллельных плоскостей 334
(6) Параллельная проекция и ее свойства 335
(7) Изображение фигур в стереометрии 336
(8) Векторы в пространстве 337
(9) Признак перпендикулярности прямой и плоскости 342
(10) Связь между перпендикулярностью и параллельностью в пространстве 343
(11) Расстояние от точки до плоскости. Угол между наклонной и плоскостью 344
(12) Теорема о трех перпендикулярах 344
(13) Симметрия относительно плоскости 345
(14) Двугранный угол. Линейный угол д...