Конкурсные задачи, основанные на теории чисел.

Учебное пособие для абитуриентов и школьников.



М.: факультет ВМиК МГУ, 2002. — 180 с.

В данном пособии в пределах школьного курса
математики и программы вступительных экзаменов рассматриваются элементы теории
чисел. Излагается необходимый теоретический материал. Особое внимание уделено
задачам. Проводится разбор основных типов задач, в том числе конкурсных задач
практически всех факультетов МГУ за последние 37 лет и других вузов. В конце
каждого раздела приводится большое число задач для самостоятельной работы. В
конце книги даны решения задач или указания к решению и ответы.

     
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 8
§1. Введение в натуральные числа 8
§2. Делимость, простые и составные числа . 10
§3. Делимость с остатком 19
§4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 21
Задачи для самостоятельной работы 24
ГЛАВА 2. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА 32
§1. Задачи на делимость 32
§2. Диофантовы уравнения первого порядка с двумя неизвестными...37
§3. Диофантовы уравнения второго и высших порядков 43
§4. Неравенства в целых числах 63
§5. Системы уравнений и неравенств в целых числах 68
§6. Задачи с параметрами и целые числа 74
§7 Экстремальные задачи с целыми числами 83
Задачи для самостоятельной работы 96
ГЛАВА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 103
§1. Свойства числовых дробей. Сократимые и несократимые дроби 103
§2. Представление рациональных чисел десятичными дробями 109
§3. Разные задачи с рациональными числами 111
Задачи для самостоятельной работы 116
ГЛАВА 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 120
§1. Некоторые теоретические положения 120
§2. Доказательство иррациональности некоторых чисел 123
§3. Разные задачи с иррациональностью 126
Задачи для самостоятельной работы 129
РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 132
Глава 1 132
Глава2 152
Глава 3 166
Глава4 174
ЛИТЕРАТУРА 179