Задачи по планиметрии.

5-е изд., испр.и доп.—М.: 2006.— 640 с.

Книга может использоваться в качестве
задачника по геометрии для 7—11 классов в сочетании со всеми
действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные
геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со
школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с
полными решениями и около 150 задач для самостоятельного
решения. С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и
профильную подготовку по математике, элективные курсы по
дополнительным главам планиметрии.

Материалы данного пособия полностью
покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех
видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы.


Для школьников, преподавателей
математики, руководителей математических
кружков, студентов педагогических институтов и университетов.

      ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 10 Глава 1. Подобные треугольники 11 § 1. Отрезки, заключённые между параллельными прямыми (12). § 2. От- ношение сторон подобных треугольников (13). § 3. Отношение площадей подобных треугольников (15). § 4. Вспомогательные равные треуголь- ники (16). § 5. Треугольник, образованный основаниями высот (17). § 6. Подобные фигуры (18). Задачи для самостоятельного решения (18). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Глава 2. Вписанный угол 30 § 1. Углы, опирающиеся на равные дуги (31). § 2. Величина угла меж- ду двумя хордами (32). § 3. Угол между касательной и хордой (33). § 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (34). § 5. Четы- ре точки, лежащие на одной окружности (35). § 6. Вписанный угол и подобные треугольники (36). § 7. Биссектриса делит дугу попо- лам (37). § 8. Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диа- гоналями (38). § 9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке (39). § 10. Точка Микеля (40). § 11. Разные задачи (40). Задачи для самостоятельного решения (41). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Глава 3. Окружности 55 § 1. Касательные к окружностям (56). § 2. Произведение длин отрезков хорд (57). § 3. Касающиеся окружности (58). § 4. Три окружности одно- го радиуса (59). § 5. Две касательные, проведённые из одной точки (59). § 6. Применение теоремы о высотах треугольника (60). § 7. Площади криволинейных фигур (61). § 8. Окружности, вписанные в сегмент (61). § 9. Разные задачи (62). § 10. Радикальная ось (63). § 11. Пучки окруж- ностей (65). Задачи для самостоятельного решения (66). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Глава 4. Площадь 81 § 1. Медиана делит площадь пополам (81). § 2. Вычисление площа- дей (82). § 3. Площади треугольников, на которые разбит четырёхуголь- ник (83). § 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник (83). § 5. Разные задачи (84). § 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части (85). § 7. Формулы для площади четырёхугольни- ка (86). § 8. Вспомогательная площадь (87). § 9. Перегруппировка пло- щадей (88). Задачи для самостоятельного решения (89). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Глава 5. Треугольники 101 § 1. Вписанная и описанная окружности (102). § 2. Прямоугольные тре- угольники (103). § 3. Правильный треугольник (104). § 4. Треугольник с углом 60 или 120 (105). § 5. Целочисленные треугольники (106). § 6. Разные задачи (106). § 7. Теорема Менелая (109). § 8. Теорема Че- вы (111). § 9. Прямая Симсона (113). § 10. Подерный треугольник (115). § 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (116). § 12. Точки Бро- кара (117). § 13. Точка Лемуана (119). Задачи для самостоятельного решения (121). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Глава 6. Многоугольники 151 § 1. Вписанные и описанные четырёхугольники (151). § 2. Четырёх- угольники (154). § 3. Теорема Птолемея (155). § 4. Пятиугольники (156). § 5. Шестиугольники (157). § 6. Правильные многоугольники (157). § 7. Вписанные и описанные многоугольники (160). § 8. Произвольные выпуклые многоугольники (161). § 9. Теорема Паскаля (161). Задачи для самостоятельного решения (162). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Глава 7. Геометрические места точек 183 § 1. ГМТ — прямая или отрезок (183). § 2. ГМТ — окружность или дуга окружности (184). § 3. Вписанный угол (185). § 4. Вспомогатель- ные равные или подобные треугольники (186). § 5. Гомотетия (186). § 6. Метод ГМТ (186). § 7. ГМТ с ненулевой площадью (187). § 8. Теоре- ма Карно (187). § 9. Окружность Ферма—Аполлония (188). Задачи для самостоятельного решения (188). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Глава 8. Построения 197 § 1. Метод геометрических мест точек (197). § 2. Вписанный угол (198). § 3. Подобные треугольники и гомотетия (198). § 4. Построение тре- угольников по различным элементам (198). § 5. Построение треуголь- ников по различным точкам (199). § 6. Треугольник (199). § 7. Четы- рёхугольники (200). § 8. Окружности (201). § 9. Окружность Аполло- ния (201). § 10. Разные задачи (202). § 11. Необычные построения (202). § 12. Построения одной линейкой (202). § 13. Построения с помощью двусторонней линейки (203). § 14. Построения с помощью прямого уг- ла (204). Задачи для самостоятельного решения (205). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Глава 9. Геометрические неравенства 221 § 1. Медиана треугольника (222). § 2. Алгебраические задачи на нера- венство треугольника (222). § 3. Сумма длин диагоналей четырёхуголь- ника (223). § 4. Разные задачи на неравенство треугольника (223). § 5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон (224). § 6. Неравенства для площадей (224). § 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой (226). § 8. Ломаные внутри квадрата (227). § 9. Четырёхугольник (227). § 10. Многоугольники (228). § 11. Разные задачи (229). Задачи для самостоятельного решения (230). Приложение. Некоторые неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 253 § 1. Медианы (253). § 2. Высоты (253). § 3. Биссектрисы (254). § 4. Дли- ны сторон (254). § 5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей (254). § 6. Симметричные неравенства для углов треуголь- ника (255). § 7. Неравенства для углов треугольника (255). § 8. Нера- венства для площади треугольника (256). § 9. Против большей стороны лежит больший угол (256). § 10. Отрезок внутри треугольника мень- ше наибольшей стороны (257). § 11. Неравенства для прямоугольных треугольников (257). § 12. Неравенства для остроугольных треугольни- ков (258). § 13. Неравенства в треугольниках (258). Задачи для самосто- ятельного решения (259). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Глава 11. Задачи на максимум и минимум 273 § 1. Треугольник (273). § 2. Экстремальные точки треугольника (274). § 3. Угол (275). § 4. Четырёхугольники (276). § 5. Многоугольники (276). § 6. Разные задачи (277). § 7. Экстремальные свойства правильных мно- гоугольников (277). Задачи для самостоятельного решения (278). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Глава 12. Вычисления и метрические соотношения 289 § 1. Теорема синусов (289). § 2. Теорема косинусов (290). § 3. Вписан- ная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы (291). § 4. Дли- ны сторон, высоты, биссектрисы (291). § 5. Синусы и косинусы уг- лов треугольника (292). § 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольни- ка (292). § 7. Вычисление углов (293). § 8. Окружности (294). § 9. Раз- ные задачи (295). § 10. Метод координат (295). Задачи для самостоя- тельного решения (296). Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Глава 13. Векторы 308 § 1. Векторы сторон многоугольников (309). § 2. Скалярное произве- дение. Соотношения (310). § 3. Нераве...