Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. 10-11 классы.

М.: 1998. - 192 с.

В данном учебно-методическом пособии приводятся
методы решении уравнений и неравенств, основанные на геометрических
соображениях, свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности),
применении производной. Книга ставит своей целью познакомить школьников с
различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней
школы, методами решения задач, проиллюстрировать широкие возможности
использования хорошо усвоенных школьных знаний и привить читателю навыки
употреблять различные методы рассуждений при решении задач.

Для школьников, абитуриентов, руководителей
математических кружков, учителей.

        Оглавление
От авторов 8
Глава I. Алгебраические уравнения и неравенства 10
1.1. Разложение многочлена на множители 10
1.1.1. Вынесение общего множителя 11
1.1.2. Применение формул сокращенного умножения 11
1.1.3. Выделение полного квадрата. 12
1.1.4. Группировка 12
1.1.5. Метод неопределенных коэффициентов. . 13
1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам 14
1.1.7. Метод введения параметра 15
1.1.8. Метод введения новой неизвестной. 16
1.1.9. Комбинирование различных методов. 17
1.2. Простейшие способы решения алгебраических , уравнений 18
1.3. Симметрические и возвратные уравнения 22
1.3.1. Симметрические уравнения третьей степени 22
1.3.2. Симметрические уравнения четвертой степени 23
1.3.3. Возвратные уравнения. . 24
1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты 28
1.4. Некоторые способы решения алгебраических уравнений 30
1.4.1. Умножение уравнения на функцию. 30
1.4.2. Угадывание корня уравнения 32
1.4.3. Использование симметричности уравнения. 35
1.4.4. Использование суперпозиции функций. . 37
1.4.5. Исследование уравнения на промежутках действительной оси 38
1.5. Решение алгебраических неравенств 39
1.5.1. Простейшие способы решения алгебраических неравенств 39
1.5.2. Метод интервалов 42
1.5.3. Обобщенный метод интервалов 45
Задачи 50
Глава II. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули 54
2.1. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком радикала 54
2.1.1. Возведение в степень 54
2.1.2. Уравнения вида у//(х) ± \/д(х) = h{x). . 57
2.1.3. Уравнения вида \/f{x) ± у/д(х) = (р(х). . 60
2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на функцию 62
2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов 66
2.2.1. Переход к числовому основанию .66
2.2.2. Переход к основанию, содержащему неизвестную 70
2.2.3. Уравнения вида log^j h(x) = log9(a.) д(х),
2.2.4. Уравнения вида \og^x) д(х) = а 73
2.2.5. Неравенства вида log^j f(x) > log^) g{x) 75
2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени 78
2.4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины 83
2.4.1. Раскрытие знаков модулей . 83
2.-4.2. . Уравнения вида \f(x)\ = д(х). . 85
2.4.3. Неравенства вида |/(х)| < д(х) 86
2.4.4. Неравенства вида \f{x)\ > д(х) 86
2.4.5. Уравнения и неравенства вида |/(*)1 = |0(*)1, 1/(*)1 < ls(*)l 88
2.4.6. Использование свойств абсолютной величины ' 90
Задачи 92
Глава III. Способ замены неизвестных при решении уравнений . 96
3.1. Алгебраические уравнения 96
3.1.1. Понижение степени уравнения 96
3.1.2. Уравнения вида (х 4- а)4 4- (х 4- Р)4 = с* 98
3.1.3. Уравнения вида (х - а)(х - р){х - ч)(х - 8) = А 98
3.1.4. Уравнения вида (ах2 4- Ьух 4- с)(ах2 4- Ь2х 4- с) = Ах2 ... 99
3.1.5. . Уравнения вида (х - а)(х - р)(х - у)(х - S) = Ах2 .... 100
3.1.6. Уравнения вида а(сх2 4- р\Х 4- q)2 4- +b(cx2 + р2х + q)2 -Ax2 102
3.1.7. Уравнения вида Р(х) = 0, где Р[х) =Р(а-х) 103
3.2. Рациональные уравнения 104
3.2.1. Упрощение уравнения 105
3.2.2. Уравнения вида _^ + _^- + ... + _^_ = Л ... 106
3.2.3. Уравнения вида агх + ai апх Ч- ап г • • • Н ;
3.2.4. Уравнения вида Pix2 + qix + ri о>2Х + Ь2 , . опж + Ьп
3.2.5. Уравнения вида V aix + fk . а2х2 + Ь2х + с2 t anx2 + bnx + cn
3.2.6. Уравнения вида —г—= Ь у ах2 + Ъхх + с
3.3. Иррациональные уравнения 114
3.3.1. Уравнения вида у/ах + Ь ± y/cx + d = f(x). 114
3.312. Уравнения вида Ца — х ± у/х — Ь = d. . . 117
3.3.3. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометрического уравнения 121
3.4. Уравнения вида aofn(x) Ч- ai/n""1(x)p(a;) Ч + an-1f(x)gn-1(x) + angn(x) = 0 125
3.5. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных 131
Задачи 138
Глава IV. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций 143
4.1. Применение основных свойств функций 143
4.1.1. Использование ОДЗ 143
4.1.2. Использование ограниченности функций. 146
4.1.3. Использование монотонности функции. . 150
4.1.4. Использование графиков функций 154
4.1.5. Метод интервалов для непрерывных функций 161
4.2. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной 163
4.2.1 Уравнения вида Л2(*)+ /!(*) + +№) = о. 1Л(*)1 + 1Л(*)| + + 1Л(*)| = о ... .163
4.2.2. Неравенства вида /?(*) + #(*) + /*(*) >0, |/,(х)| + |/a(*)t + + \fn{x)\ > 0 165
4.2.3. Использование ограниченности функций. 167
4.2.4. Использование свойств синуса и косинуса. 169
4.2.5. Использование числовых неравенств. . . . 173
4.3. Применение производной 174
4.3.1. Использование монотонности функции. . 175
4.3.2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции . 177
4.3.3. Применение теоремы Лагранжа. . ., . . . 180
Задачи 181
Ответы 188