Теория спиновых волн в ферромагнетике с периодической доменной структурой

Создание схемы применения метода вторичного квантования для нахождения спектра элементарных возбуждений в ферромагнетиках с простейшей доменной структурой при учете дипольной энергии. Приведение квадратичной формы спиновой волны к диагональному виду.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: «Теория спиновых волн в ферромагнетике с периодической доменной структурой»

Содержание

Введение

1. Постановка задачи

2. Приведение квадратичной формы к диагональному виду

3. Нахождение элементарных возбуждений и их энергетического спектра

Выводы

Список литературы

Введение

В настоящее время одной из актуальных проблем физики твердого тела является изучение различных дефектов в кристаллических структурах и влияние их на свойства веществ. Магнитные дефекты, как и кристаллографические, могут быть точечными или протяженными.

Цель данной работы - создание общей схемы применения метода вторичного квантования для нахождения спектра элементарных возбуждении в ферромагнетиках с простейшей доменной структурой при учете дипольной энергии. Предлагаемая схема позволяет с единой точки зрения рассматривать некоторые кинетические, релаксационные и другие явления в ферромагнетиках с доменной структурой. Кроме того, такое рассмотрение облегчает изучение влияния других, более сложных, протяженных дефектов в ферро-антиферромагнетиках на их физические свойства.

1. Постановка задачи

Будем рассматривать неограниченный ферромагнетик. Допустим, что спины лежат в плоскости параллельно оси , ось направим вдоль оси . Феноменологический гамильтониан для таких ферромагнетиков можно записать так:

, (1.1)

где ; - локальная намагниченность; - намагниченность насыщения; и - произвольные постоянные. В уравнении (1.1) первое слагаемое является энергией обмена, второе - энергия анизотропии, третье - магнитодипольной энергией.

Для решения данного уравнения требуется найти все три слагаемых.

Для простоты ограничимся рассмотрение случая, когда образец состоит из плоскопараллельных доменов, разделенных переходными слоями (рис. 1), в состоянии равновесия все домены имеют одинаковую толщину (доменная структура типа Широбокова), в переходном слое .

Для определения равновесной намагниченности минимизирует . В блоховском приближении , , ; ; получаем:

, - толщина доменной границы (1.2)

Согласно общей схеме, в гамильтониане (1.1) перейдем от классических величин к операторам , которые удовлетворяют соотношениям коммутации

, - величина спина, (1.3)

где , , принимают значения 1, 2, 3 в циклическом порядке; ( - постоянная Планка, , - фактор Ланде); - единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

В исходной системе координат ось квантования не фиксирована. Так как распределение намагниченности получилось неоднородным, а с другой стороны имеется представление , , , то необходимо перейти в систему отсчета в которой каждый спин поляризован вдоль оси . Поэтому в неоднородном случае удобно перейти к локальной системе координат, в которой ось - направлена вдоль равновесного вектора , ось остается без изменения (рис. 2). Такая система координат поворачивается вокруг оси вместе с . Тогда ось можно принять за ось квантования. Следовательно необходимо в каждой точке повернуть систему на соответствующий угол зависящий от .

(1.4)

где . Легко проверить, что при таких преобразованиях соотношения (1.3) сохраняются. Дальнейшие вычисления оказываются более простыми, если считать величины , и функциями координат , ,.

Доменные границы могут совершать малые колебания около их положения равновесия. Устойчивость доменных границ по отношению к смещению будем учитывать путем добавления к гамильтониану (1.1) квазиупругой энергии. Строго говоря, добавление такого члена в гамильтониане оправдывается только в пределах переходного слоя. Однако в модели Широкобокова нет резкой границы между переходным слоем и доменами. Кроме того, ввиду малости члена по сравнению с энергией анизотропии наличие его в гамильтониане не может оказать существенного влияния на определение движения спинов в пределах доменов. В общем случае аналогичный член в гамильтониане обуславливается магнитоупругими силами в образце. При более точном описании движения спинов следует взять в гамильтониане главные члены магнитоупругой энергии.

Подставляем в (1.1) вместо его проекции в движущейся системе координат :

,

,

.

; .

При вычислении слагаемого с заметим, что .

,

тогда

.

,

; ;

;

Исходя из того что:

,

.

Таким образом энергия обмена … в общем виде

,

но для нашего случая примет вид

.

Проведем также учет магнитодипольного взаимодействия.



;

;

учитывая что

, ,

пересчитываем согласно формуле, получаем

.

Следовательно

.

Но такой вид магнотодипольной энергии неудобен для дальнейших вычислений. Рассмотрим винтеровское приближение (). В нулевом приближении магнитодипольная энергия равна нулю. Перераспределив , мы можем записать энергию анизотропии:

.

Квазиупругое слагаемое, необходимое для фиксации доменной структуры . Собирая (1.1)-(1.4), получаем (без учета магнитодипольной энергии -):

. (1.5)

2. Приведение квадратичной формы к диагональному виду

В общем случае квадратичная форма имеет весьма сложное выражение, диагонализация ее с учетом представляет очень трудную задачу. Для системы в состоянии равновесия, отвечающей минимуму энергии в соответствии с (1.5) равновесное распределение дается (1.2). Если же систему выводят из этого состояния, то возникают колебания намагниченности в каждой точке ферромагнетика. Представим энергию возбуждения в виде энергии магнонов и вычислим спектр возбуждений. Вводим бозе-операторы рождения - и уничтожения , подчиняя их коммутативным соотношениям:

;

;

;

. (2.1)

Для операторов , , используем представление Хольштейна-Примакова:

; ; .

В данном случае

.

Но так как в нулевом приближении , то имеем

; ; (2.2)

При учете последующих слагаемых в разложении по степеням (что справедливо вообще говоря, для больших значений ) возникают более высокие степени операторов. Для их правильной записи в необходимо ввести упорядочение левее в это делается с помощью коммутационных соотношений:

Ex. 1.

2.

В выражениях , , отбросим слагаемые степени :

;

;

.

-

обменное взаимодействие

Перегруппируем слагаемые и представим в виде:

,

где

,

.

Положим . Перегруппировав слагаемые в , получаем:

спиновой волна ферромагнетик доменный

.

Перейдем к безразмерным переменным , . Используем:

,

.

Представить на данном этапе нам мешают дополнительные слагаемые вида , которые не дают возможности назвать энергию магнонов. Поэтому нам следует диагонализировать .

Переходим к фурье-представлению в плоскости .

, (2.3)

Операторы и подчиняются коммутативным соотношениям:

.

Подставляя (2.3) в , находим:

.

Проинтегрируем по и . Так как () ортогональны. То в сумме останутся слагаемые только с . Обозначим , получаем:

(2.4)

; ; .

Необходимо диагонализировать гамильтониан (2.4). Представив его в виде:

(2.5)

С новыми операторами и , которые подчиним коммутативным соотношениям:

; , (2.6)

и не зависящими от . - оператор числа магнонов с ; - соответствующая энергия. В решении зависимость следует из уравнения движения:

,

(2.7)

Причем

Введем уравнения движения для операторов :

(2.8)

.

,

,

.

Тогда

.

Интегрируя по , находим

;

.

Таким образом, уравнение движения для имеет вид:

. (2.9)

Для приведения (2.9) к (2.7), а - к диагональному виду (2.5), зададим каноническое преобразование:

(2.10)

Из (2.5) и (2.6) следует:

(2.11)

Следовательно, и подчиняются уравнениям:

(2.12)

Представим их в виде: