Специальные вопросы электроснабжения промышленных предприятий

Характеристика задач энергетики, которые решаются с помощью методов теории вероятностей. Физический смысл формулы полной вероятности. Сущность основных условий гамма-распределения. Ключевые вопросы требования и учёта надёжности систем электроснабжения.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Основные понятия теории вероятностей

энергетика теория вероятность энергосбережение

Вопрос № 3

Какие задачи энергетики решаются с помощью методов теории вероятностей?

Ответ:

Развитие электроэнергетической отрасли в настоящее время немыслимо без решения вопросов и расчётов надёжности элементов и систем, входящих в комплексные функциональные устройства. Внезапные перерывы электроснабжения влекут за собой значительные народно-хозяйственные ущербы, а также при стечении ряда обстоятельств не исключают появление пожаров и взрывоопасных ситуаций, связанных с угрозой здоровью и жизни людей. Поэтому вопрос повышения надёжности систем электроснабжения приобретает важное государственное значение. Расчёт надёжности систем электроснабжения проводится с использованием математического аппарата теории вероятностей.

С помощью методов теории вероятностей можно:

ь анализировать рабочие и аварийные режимы систем электроснабжения;

ь производить расчёты надёжности систем электроснабжения;

ь оценивать ущерб предприятию из-за отсутствия электропитания;

ь построить рациональную по надёжности схему электроснабжения;

ь оценивать качество электрической энергии и проводить мероприятия по его улучшению;

ь анализировать процессы смены состояний системы, на которые влияют случайные отказы отдельных элементов.

Конечной целью расчёта надёжности систем электроснабжения является количественная оценка комплексных показателей надёжности:

- вероятность безотказной работы (вероятность того, что в пределах заданной

продолжительности работы объекта отказ не возникает);

- интенсивность отказов;

- параметр потока отказов;

- частота отказов;

- наработка на отказ;

- вероятность восстановления в заданное время;

- среднее время восстановления;

- продолжительность восстановления;

- коэффициент готовности (вероятность нахождения элемента в работоспособном состоянии);

- коэффициент технического использования;

- коэффициент оперативной готовности;

- средний недоотпуск электроэнергии;

- коэффициент необеспеченности электроэнергией;

- экономический ущерб от надежности;

- удельный ущерб

относительно конкретных узлов нагрузки и разработать на основе полученных результатов мероприятий целенаправленного их изменения.

Основные теоремы теории вероятностей

Вопрос № 7.

Объясните физический смысл формулы полной вероятности.

Ответ:

Формула полной вероятности является следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий:

Н1, Н2, …, Нп,

образующих полную группу (несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них) несовместных событий (несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе). Будем эти события называть гипотезами.

Так как гипотезы Н1, Н2, …, Нп образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

А=Н1•А+Н2•А+…+Нп•А.

Так как гипотезы Н1, Н2, …, Нп несовместны, то и комбинации Н1•А+Н2•А+…+Нп•А также несовместны. Применяя к ним теорему сложения вероятностей (Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) ), получаем:

Р(А)= Р(Н1•А)+Р(Н2•А)+…+Р(Нп•А)=.

Применяя к событию Рi•А теорему умножения (Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(А•В)=Р(А)•Р(В/А) ), получим:

Р(А)= Р(Н1)•Р(А/Н1)+Р(Н2)•Р(А/Н2)+…+Р(Нп)•Р(А/Нп)

или .

Полученная формула и есть формула полной вероятности.

Пример. Вдоль линии электропередач (ЛЭП) происходит три грозовых разряда. Вероятность попадания в ЛЭП первого грозового разряда равна 0.4; второго - 0.5; третьего - 0.7. ЛЭП выходит из строя при одном попадании молнии с вероятностью 0.2; при двух попаданиях с вероятностью 0.6 и при трёх попаданиях с вероятностью 1.0.

Найти вероятность того, что в результате грозовых разрядов ЛЭП вышла из строя.

Решение. Рассмотрим четыре гипотезы:

1. Н0 - в ЛЭП не попало ни одного грозового разряда;

2. Н1 - в ЛЭП попал один разряд молнии;

3. Н2 - в ЛЭП попало два разряда молнии;

4. Н3 - в ЛЭП попало три разряда молнии.

Очевидно, что эти гипотезы имеют место при следующих сочетаниях событий, образующих несколько несовместных вариантов:

;

;

;

,

где В1, В2, В3 - попадание молнии в ЛЭП при первом, втором и третьем грозовом разряде, соответственно. - события противоположные событиям В1, В2, В3 соответственно, вычисленные как .

Пользуясь теоремами сложения, умножения и свойством противоположных событий, находим вероятности этих гипотез.

;

;

;

.

Условные вероятности события А (выход из строя ЛЭП) при этих гипотезах равны:

; ; ; .

Применяя формулу полной вероятности, получаем:

Р(А)= Р(Н0)•Р(А/Н0)+Р(Н1)•Р(А/Н1)+Р(Н2)•Р(А/Н2) +Р(Н3)•Р(А/Н3)=

0.09•0+0.36•0.2+0.41•0.6+0.14•1.0=0.458.

Из результатов расчёта видно, что первую гипотезу Н0 можно было бы не рассматривать, так как соответствующий член в формуле полной вероятности обращается в нуль. Так обычно и поступают при применении формулы полной вероятности, рассматривая не полную группу несовместных гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

Данный пример наглядно показывает область применения формулы полной вероятности, с помощью которой можно определить вероятность некоторого события, которое может произойти вместе с одним из событий, образующих полную группу несовместных событий.

Формула полной вероятности играет большую роль при анализе надёжности сложных схем, поскольку позволяет свести любую сложную схему к совокупности элементарных. Метод оценки надёжности, основанный на формуле полной вероятности, достаточно удобен, прост и нагляден в расчётах даже без применения ЭВМ относительно небольших по объёму схем с небольшим числом ветвей и узлов, к которым можно отнести схемы внутризаводского электроснабжения.

Случайные величины

Вопрос № 3.

Как определяется математическое ожидание произведения и суммы нескольких независимых случайных величин?

Ответ:

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причём неизвестно заранее, какое именно. Например, случайной величиной является количество отказов системы электроснабжения за определённый промежуток времени или время отыскания повреждения и ремонта вышедшего из строя кабеля и т. д.

Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы её «представителем» и заменяющее её при ориентировочных расчётах. Когда мы говорим: «средняя нагрузка шинопровода равна 200 А», то этим указываем определённую числовую характеристику случайной величины, описывающую её местоположение на числовой оси, т. е. «характеристику положения».

Из характеристик положения важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое часто называют просто средним значением случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую возможные значения х1, х2, х3, … хп с вероятностями Р1, Р2, Р3, … Рп. Требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учётом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели воспользуемся так называемым «средним взвешенным» из значений хi, причём каждое значение хi при осреднении должно учитываться с «весо...