Моделювання нестаціонарних процесів теплопровідності методом гібридного диференціального оператора Лежандра–Бесселя-Фур’є в припущенні, що межа середовища м’яка по відношенню до відбиття хвиль

Огляд особливостей процесів теплопровідності. Вивчення основ диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу. Дослідження моделювання даних процесiв в неоднорiдних середовищах з м'якими межами методом оператора Лежандра-Бесселя-Фур'є.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Зміст

теплопровідність диференціальний рівняння лежандр

Вступ

1. Моделювання процесу теплопровідності в неоднорідному середовищі з м'якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра - Бесселя - Фур'є на полярній осі

2. Моделювання процесів теплопровідності в неоднорідних середовищах з м'якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра - Фур'є - Бесселя на полярній осі

3. Моделювання процесів теплопровiдностi в неоднорідних середовищах з м'якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра - Фур'є - Бесселя на полярнiй осi

4. Моделювання процесiв теплопровiдностi в неоднорiдних середовищах з м'якими межами методом гiбридного диференцiального оператора Лежандра - Бесселя - Фур'є на полярнiй осi

5. Охорона праці

Список використаних джерел

Вступ

Процеси теплопровідності, які постійно відбуваються в навколишньому середовищі, привертали до себе увагу вчених на протязі всієї історії розвитку людства. Найпростішою математичною моделлю такого процесу є диференціальне рівняння теплопровідності параболічного типу [1]

(1)

з відповідною початковою умовою та крайовими умовами.

Потреби практики приводили до різного узагальнення рівняння (1): перехід до квазілінійності та нелінійності, перехід до кусково-однорідних коефіцієнтів, перехід до нових ортогональних криволінійних систем координат (у випадку розмірності простору ); перехід до диференціальних рівнянь параболічного типу вищих порядків та ін. В усіх випадках процеси теплопровідності вивчалися в припущенні, що межа середовища жорстка по відношенню до відбиття хвиль. Різко змінюється картина розповсюдження тепла, якщо межа середовища є м'якою по відношенню до відбиття хвиль. Математично це означає наявність в крайових операторах та диференціальних операторах спряження похідної стосовно часової змінної.

Особливу увагу заслуговує дуже поширений в другій половині ХХ-го століття для вивчення фізико-технічних характеристик композитних об'єктів метод кусково-сталих коефіцієнтів. Це привело навіть у випадку жорсткості області середовища до диференціальних рівнянь із сингулярними коефіцієнтами типу дельта-функції та її похідних. Та одержати інтегральне зображення точного аналітичного розв'язку таких задач навіть у найпростішому випадку неможливо. Ці труднощі можна обійти, якщо здійснити моделювання процесів поширення тепла методом гібридних диференціальних операторів.

Дана робота присвячена моделюванню нестаціонарних процесів теплопровідності методом гібридного диференціального оператора Лежандра - (Бесселя, Фур'є) в припущенні, що межа середовища м'яка по відношенню до відбиття хвиль.

Такий підхід здійснено вперше в математичній літературі. Це дало можливість одержати інтегральне зображення точного аналітичного розв'язку в алгоритмічній формі достатньо широкого класу задач теплопровідності неоднорідного середовища. Така форма розв'язку зручна і для теоретичного дослідження і для інженерних розрахунків.

1. Моделювання процесу теплопровідності в неоднорідному середовищі з м'якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра - Бесселя - Фур'є на полярній осі

Побудуємо обмежений в області розв'язок сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [1]

(1.1)

за початковими умовами

(1.2)

та умовами спряження

(1.3)

У рівностях (1.1) беруть участь диференціальні оператори Лежандра [2]

,

Бесселя

[3]

та Фур'є [4]

(диференціальний оператор Лапласа у випадку одновимірного простору [1]);

У рівностях (1.3) беруть участь узагальнені диференціальні оператори спряження

.

Припустимо, що виконані умови на коефіцієнти:

Розв'язок задачі (1.1)-(1.3) одержимо методом інтегрального перетворення Лапласа стосовно t [5] в припущенні, що шукані та задані функції є зображення за Лапласом стосовно змінної t [5]:



У зображенні за Лапласом отримуємо крайову задачу: побудувати обмежений на множині розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Лежандра, Бесселя та Фур'є для модифікованих функцій

(1.4)

за умовами спряження

(1.5)

У рівностях (1.4), (1.5) беруть участь функції:

Зауважимо, що можна вважати початкові умови нульовими. Тоді для . Якщо , то перейдемо до нових початкових умов і визначимо числа із неоднорідної алгебраїчної системи чотирьох рівнянь відносно чотирьох невідомих:

(1.6)

Тут прийняті позначення:

.

Введемо до розгляду числа:

Оскільки визначник алгебраїчної системи (1.6)

(1.7)

то алгебраїчна система (1.6) має єдиний розв'язок [6]:

(1.8)

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра складають узагальнені приєднані функції Лежандра першого роду та другого роду [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Бесселя складають функції Бесселя уявного аргументу першого роду та другого роду [3]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є складають функції та [4].

Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побудувати розв'язок крайової задачі (1.4), (1.5) методом функцій Коші [4,7]:

(1.9)

У рівностях (1.9) - функції Коші [4,7]:

, (1.10)

Припустимо, що функція Коші

Властивості (1.10) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси знаходимо співвідношення:

(1.11)

Доповнимо рівності (1.11) алгебраїчним рівнянням:

(1.12)

Із алгебраїчної системи (1.11) та (1.12) знаходимо, що

Цим функція Коші визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі має структуру:

 (1.13)

У рівностях (1.11)-(1.13) беруть участь функції:

Нехай функція Коші

Властивості (1.10) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси отримуємо співвідношення:

 (1.14)

Доповнимо рівності (1.14) алгебраїчними рівняннями:

(1.15)

Внаслідок співвідношень (1.14) алгебраїчна система (1.15) набуває вигляду:

(1.16)

Розв'язуємо алгебраїчну систему (1.16) за правилом Крамера:

Цим функція Коші визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі має структуру:

 (1.17)

У рівностях (1.15)-(1.17) беруть участь функції:

Нехай функція Коші

Властивості (1.10) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси отримуємо співвідношення:

 (1.18)

Доповнимо рівності (1.18) алгебраїчним рівнянням:

(1.19)

Із алгебраїчної системи (1.18), (1.19) одержуємо,що

Цим функція Коші визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі має структуру:

(1.20)

Повернемося до формул (1.9). Умови спряження (1.5) для визначення чотирьох невідомих величин A1,A2,B2,B3 дають неоднорідну алгебраїчну систему із чотирьох рівнянь:

(1.21)

У рівностях (1.21) беруть участь функції

та символ Кронекера

Введемо до розгляду функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності крайової задачі (1.4), (1.5): для

з ,

де - абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та

визначник алгебраїчної системи (1.21) відмінний від нуля:

(1.22)

Визначаємо головні розв'язки крайової задачі (1.4), (1.5):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(1.23)

2) породжені неоднорідністю системи (1.4) функції впливу:



(1.24)

У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (1.21) й підстановки визначених величин у рівності (1.9) маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1.4), (1.5):



(1.25)

Перехід у формулах (1.25) до оригіналу дає єдиний розв'язок параболічної задачі (1.1)-(1.3):

- дельта-функція, зосереджена в точці [7].

У формулах (1.26) за означенням [5]

(1.27)

(1.28)

Теорема: Якщо є оригіналом за Лапласом, - двічі неперервно диференційовні за змінною r та задовольняють однорідні умови спряження, то задача (1.1)-(1.3) має розв'язок , що визначається формулою (1.26), а при виконанні умови однозначної розв'язності алгебраїчної системи (1.22) він єдиний.

Особливими точками функції Гріна та функції впливу є точки галуження та . Покла...