Методы решения задач теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности. Поток тепла через элементарный объем. Условия постановка краевой задачи. Методы решения задач теплопроводности. Численные методы решения уравнения теплопроводности. Расчет температурного поля пластины.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Инновационный евразийский университет

Факультет энергетики и информационных технологий

КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

Дипломная работа.

Тема: Методы решения задач теплопроводности.

Курсовая работа студента гр. МТ-41

Нургалиев А. З.

Научный руководитель: профессор,

кандидат физ-мат наук Шарая С. Н.

Павлодар 2008 год.

Cодержание

уравнение поток задача теплопроводность

Введение

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности

1.1 Вывод уравнения теплопроводности

1.1.1 Поток тепла через элементарный объем

1.1.2 Общий метод вывода уравнения теплопроводности

1.2 Постановка краевой задачи

1.2.1 Начальные условия

1.2.2 Граничные условия

2. Методы решения задач теплопроводности

2.1 О методах решения краевых задач

2.2 Анализ дифференциального уравнения теплопроводности

2.3 Аналитические методы решения

2.3.1 Метод разделения переменных

2.3.2 Методы интегрального преобразования

2.3.2.1 Операционные методы

2.3.2.2 Конечные интегральные преобразования

3. Численные методы решения уравнения теплопроводности

3.1 Теория разностных методов

3.1.1 История развития метода

3.1.2 Метод конечных разностей

3.1.3 Условие устойчивости

3.1.4 Сходимость и погрешность метода

4. Расчет температурного поля пластины

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Процессы теплопередачи играют исключительно большую роль как в природе, так и в современной технике. Исследования показывают, что теплопередача является сложным процессом. При изучении этот процесс расчленяют на простые явления. Частным случаем является теплопроводность - перенос тепла (или внутренней энергии) при непосредственном соприкосновении тел (или частей одного тела) с различной температурой.

В настоящее время практика непрестанно выдвигает перед учением о теплообмене новые и разнообразные задачи, требуя от инженера умения самостоятельно и творчески использовать основные законы и методы теплопередачи. Значительно расширилась возможность прикладного использования теории теплопроводности в связи со все более широким внедрением в инженерную практику быстродействующих ЭВМ. Многие задачи, еще недавно решавшиеся только узкими специалистами в области теории теплообмена, могут быть решены в условиях производства. При этом инженер должен достаточно глубоко понимать физические особенности рассматриваемых процессов и уметь математически описать исследуемое явление.

С одной стороны эта область науки достаточно хорошо разработана, получены надежные данные, которые можно использовать при решении тех или иных конкретных задач, возникающих при проектировании и эксплуатации теплотехнического оборудования.; с другой, - проблемная, поскольку использование новых материалов, расширение диапазона действия теплотехнических устройств требует создание новых, более надежных методов расчета.

За последние десятилетия интерес к математическому моделированию сложных физических процессов и необходимость в нем заметно возросли. Этому в значительной мере способствует прогресс в развитии компьютерной техники, численных методов решения всех типов задач математической физики и реализуемых на этой основе математических моделей. Любая современная наукоемкая технология так или иначе использует результаты вычислительных экспериментов. В ведущих научных центрах развитых стран интенсивно разрабатываются новые численные методы, алгоритмы и пакеты прикладных программ для решения соответствующих классов задач.

В данной работе для нестационарного уравнения теплопроводности проведено исследование различных методов решения как аналитических так и численных. Целью работы являлось на конкретной практической задаче произвести оценку их эффективности и актуальности, анализ практической и теоретической значимости полученных результатов.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка используемой литературы.

В первой главе рассматриваются физические задачи приводящие к уравнению теплопроводности. Также излагается постановка краевых задач, связанных с конфигурацией тела и условиями теплообмена.

Во второй главе обсуждаются аналитические методы решения задач теплопроводности, приводятся примеры.

В третьей главе исследуется общая теория разностных методов решения уравнения теплопроводности, устойчивость и сходимость соответствующих разностных схем.

Полученные результаты применяются к конкретной физической задаче - расчет температурного поля пластины, изложенной в пятой главе.

Программа, числовые экспериментальные данные, определяющие температурные поля приводятся в приложении.

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо составить дифференциальное уравнение теплопроводности. Под дифференциальным уравнением обычно понимают математическую зависимость, выражаемую дифференциальным уравнением между физическими величинами, характеризующими изучаемое явление, причем эти физические величины являются функциями пространства и времени. Такое уравнение описывает протекание физического явления в любой точке тела в любой момент времени.

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объема.

1.1 Вывод уравнения теплопроводности

1.1.1 Поток тепла через элементарный объем

Вывод дифференциального уравнения сделаем упрощенным методом [4]. Предположим, что имеется одномерное температурное поле (тепло распространяется в одном направлении, например в направлении оси x). Термические коэффициенты считаем независимыми от координат и времени.

Выделим в однородной и изотропной неограниченной пластине элементарный параллелепипед, объем которого равен dxdydz (Рис. 1). Количества тепла, втекающего через левую грань dydz в параллелепипед в единицу времени, равно , а количества тепла, вытекающее через противоположную грань в единицу времени, равно .



Размещено на

Размещено на

Рис. 1. Поток тепла через элементарный объем

(1.1)

Величина есть неизвестная функция x. Если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать:

Тогда из равенства (1.1) будем иметь:

Применяя уравнение теплопроводности , получим



или

(1.2)

Уравнение (1.2) есть дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к изометрическим поверхностям, то вектор q можно разложить на три составляющие по координатным осям. Количество аккумулированного элементарным объемом тепла будет равно сумме

Тогда дифференциальное уравнение примет вид

(1.3)

где - оператор Лапласа.

Иногда внутри тела имеются источники тепла. Источники тепла могут быть положительными и отрицательными. В качестве примера отрицательного источника тепла можно считать испарение влаги внутри материала при нагревании. Пусть удельная мощность (количество поглощаемого или выделяемого тепла в единицу времени и в единице объема тела) этих источников будет равна (Вт/м³). Тогда количество тепла, выделяемого в элементарном объеме в единицу времени, будет равно ; это количества тепла, чтобы сохранить равенство (1.1). После аналогичных преобразований дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками тепла будет иметь вид

(1.4)

1.1.2 Общий метод вывода уравнения теплопроводности

Дифференциальное уравнение (1.3) можно вывести более общим методом, воспользовавшись формулой Остроградского-Гаусса [2].

Пусть имеется некоторая среда, в которой можно выделить объем V, ограниченный поверхностью S. Тепло распространяется в этой среде путем теплопроводности. Количество тепла, прошедшего через поверхность S в единицу времени, будет равно

(здесь интеграл берется по всей поверхности S). При отсутствии источников тепла этот тепловой поток вызовет изменение внутренней энергии среды в данном объеме в единицу времени на величину

(здесь интеграл берется по всему объему V).

По закону сохранения энергии изменение внутренней энергии среды в...