Исследование моделей на основе фундаментальных законов природы

Построение и численное решение моделей на основе фундаментальных законов природы (законов Ньютона, Закона всемирного тяготения). Модель движения лодки. Движение точки под действием центральных сил. Исследование движения планеты в системе двух звезд.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Кафедра «Оптические системы связи»

Построение и исследование моделей на основе фундаментальных законов природы

Хабаровск

2013



• Содержание
• Модель движения лодки
• 1. Цель работы
• 2. Содержательная постановка
• 3. Концептуальная постановка
• 4. Математическая постановка
• 5. Аналитическое решение
• 6. Численное решение
• 7. Расчет
• Движение точки под действием центральных сил
• 1. Цель работы
• 2. Исходные данные
• 3. Математическая постановка задачи
• 4. Расчет
• Исследование движения планеты в системе двух звез
• 1. Цель работы
• 2. Исходные данные
• 3. Математическая постановка задачи
• 4. Расчет


Модель движения лодки

1. Цель работы

Построение и численное решение моделей на основе фундаментальных законов природы (законы Ньютона, Закон всемирного тяготения).

2. Содержательная постановка

Лодку оттолкнули от берега с некоторой начальной скоростью. Необходимо исследовать движение лодки (рис.2.1).

Рисунок 2.1 - Схема движения лодки

3. Концептуальная постановка

Рассматривается движение лодки в воде с начальной горизонтальной скоростью под действием силы тяжести, архимедовой выталкивающей силы и силы сопротивления движению , приложенных к центру масс. Так как лодка держится на плаву (движение по вертикали отсутствует), то архимедова выталкивающая сила уравновешивает силу тяжести . Разработку модели будем выполнять при следующих предположениях:

· объектом исследования является лодка, совершающая поступательные движения в горизонтальной плоскости;

· лодку принимаем за материальную точку массы , положение которой совпадает с центром масс;

· движение лодки под действием приложенной системы сил подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона);

· Величина силы сопротивления воды прямо пропорциональна скорости лодки и противоположна по направлению: , где - коэффициент пропорциональности (величина постоянная).

Требуется определить скорость лодки как функцию времени и графически отобразить эту зависимость.

4. Математическая постановка

Уравнение движения лодки в направлении оси х согласно 2-му закону Ньютона и начальное условие имеют вид:

; (4.1)

. (4.2)

Найти .

5. Аналитическое решение

Уравнение решается методом разделения переменных.

; (5.1)

; (5.2)

. (5.3)

6. Численное решение

Подставим производную от скорости ее приближенным разностным значением:

. (6.1)

Уравнение принимает вид:

, (6.2)

Отсюда

. (6.3)

модель закон ньютон всемирное тяготение

Это соотношение решает поставленную задачу, поскольку позволяет вычислить скорость в произвольный момент времени, зная ее значение в предыдущий. То есть, начиная с начального значения, можно определить, какова будет скорость через время и так далее.



7. Расчет

Зададимся следующими данными: , . Уравнения принимают в этом случае вид:

· аналитическое: ;

· численное: , .

Выберем в качестве конечного момента времени . Аналитическое (практически точное) значение скорости в этот момент времени: .

Определим значение этой скорости численным методом, используя различные значения шага, и сведем полученные результаты в таблицу 7.1.

Таблица 7.1

0,001	9,990000000	0,1	9,000000000	0,01	9,900000000
0,002	9,980010000	0,2	8,100000000	0,02	9,801000000
0,003	9,970029990	0,3	7,290000000	0,03	9,702990000
0,004	9,960059960	0,4	6,561000000	0,04	9,605960100
0,008	9,920279441	0,8	4,304672100	0,08	9,227446944
0,009	9,910359161	0,9	3,874204890	0,09	9,135172475
0,01	9,900448802	1	3,486784401	0,1	9,043820750
0,011	9,890548353	1,1	3,138105961	0,11	8,953382543
0,012	9,880657805	1,2	2,824295365	0,12	8,863848717
0,013	9,870777147	1,3	2,541865828	0,13	8,775210230
…	…	…	…	…	…
7,299	0,006737497	6,9	0,006961986	7,26	0,006778776

Как следует из таблицы 7.1, при численном решении верные три значащие цифры получены для шага . Это означает, что при уменьшении шага численное решение приближается к точному. Наглядно это демонстрируется на рисунке 7.1.



Рис.7.1 - Построение графика для разных шагов интегрирования.



Движение точки под действием центральных сил

1. Цель работы

Определить координаты и компоненты вектора скорости космического корабля вблизи планеты как функции времени, а также траекторию его движения.

2. Исходные данные

Задается шаг интегрирования с и проводятся расчеты при следующих данных: кг (масса Земли), космический корабль находится в начальной точке с координатами м, м, Н^.м²/кг² - гравитационная постоянная. Начальная скорость направлена по горизонтали вправо.

3. Математическая постановка задачи

Найти решение задачи Коши для следующей системы уравнений движения космического корабля:

(2.1)

при начальных условиях .

Строятся разностные уравнения движения космического корабля:

(2.2)

(2.3)

3. Расчет

Результат вычисления представлен на рисунке 3.1 в виде траектории движения корабля при разных начальных скоростях: