Изучение кинематики и динамики вращательного движения твердого тела

Сущность механического, поступательного и вращательного движения твердого тела. Использование угловых величин для кинематического описания вращения. Определение моментов инерции и импульса, центра масс, кинематической энергии и динамики вращающегося тела.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Лабораторная работа

ИЗУЧЕНИЕ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА



Введение

Цель работы: проверка уравнений равноускоренного вращательного движения твердого тела и основного закона вращательного движения.

Приборы и принадлежности: лабораторный комплекс ЛКМ-6 с грузами массой в интервале от 50г до 250г, цилиндрами с массой 502.5г, поворотным столиком, градусной шкалой, стойкой для крепления роликов, фотоэлектронным датчиком поворота основной платформы, электронным секундомером.



Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела

Механическое движение - простейшая форма движения материи, состоящее в перемещении тел или их частей друг относительно друга в пространстве с течением времени.

Под абсолютно твердым телом подразумевается такое тело, которое можно рассматривать как систему материальных точек, расстояние между которыми не изменяется как при движении тела, так и при воздействии на него внешних сил.

Поступательное движение твердого тела - это такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе. Поступательное движение твердого тела будет прямолинейным, если траектории всех его точек - параллельные прямые линии; криволинейным, если траектории произвольной формы

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, причем центры окружностей лежат на этой оси.

Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Дц, угловую скорость щ:

и угловое ускорение е



В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Рис. 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O

При малых угловых перемещениях Дц модуль вектора линейного перемещения некоторого элемента массы Дm вращающегося твердого тела выражается соотношением:

Дs = rДц,

где r - модуль радиус-вектора (рис. 1.). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей:

х = rщ,

и между модулями линейного и углового ускорения:

a = a_ф = rе.

Векторы и направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Дm_i. Расстояния до оси вращения обозначим через r_i, модули линейных скоростей - через х_i. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Дm > 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ - килограмм-метр в квадрате (кг•м²). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости х - угловая скорость щ.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса - внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение x_C, y_C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m₁ и m₂, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x₁, y₁ и x₂, y₂ (рис. 2.), определяется выражениями:

Рис. 2. Центр масс C системы из двух частиц

В векторной форме это соотношение принимает вид:

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор центра масс определяется выражением

Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия. Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 3.).

Рис.3. Определение положения центра масс C тела сложной формы.A₁, A₂, A₃ точки подвеса

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия.

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 4.). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

где m - полная масса тела, I_C - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рис.4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью и вращения с угловой скоростью относительно оси O, проходящей через центр масс

В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Рис.5.Движение твердого тела под действием силы тяжести

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции I_C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рис.6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Дm_i - некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

Выражение для I_P можно переписать в виде:

Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно,

I_P = I_C + md²,

где m - полная масса тела. Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).

Модель. Момент инерции:

На рис. 7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.



Рис.7. Моменты инерции I_C некоторых однородных твердых тел

Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На...