Расчет спектра собственных колебаний рамы по уточненной схеме. Коэффициенты податливости системы. Определение амплитуды установившихся колебаний. Траектория движения центра масс двигателя. Построение эпюры изгибающих моментов в амплитудном состоянии.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

1. Техническое задание

Дана массивная стальная плоская рама с установленным на ней электродвигателем весом Q=15 кН (рисунок 1). Поперечные сечения всех стержней рамы одинаковы и выполнены в виде составного сечения из двух швеллеров. Вследствие вращения неуравновешенного ротора электродвигателя со скоростью n=214 об/мин возникает центробежная сила величиной Р=2,1 кН, которая вызывает колебания рамы.

Рисунок 1 - Исследуемая плоская рама

Требуется:

1) подобрать номер швеллера из условия статической прочности;

2) используя упрощенную расчетную схему с двумя степенями свободы, определить собственные частоты колебаний щ₁ и щ₂, формы колебаний, пренебрегая массой стержней рамы;

3) рассчитать спектр собственных колебаний рамы по уточненной схеме, приближенно учитывающей массу стержней рамы;

4) рассматривая стационарный режим колебаний, определить амплитуду установившихся колебаний массы электродвигателя и рассчитать траекторию движения центра масс электродвигателя;

5) построить эпюру амплитудных значений изгибающих моментов, возникающих в раме от действия заданной вибрационной нагрузки при стационарном режиме колебаний;

6) вычислить максимальные динамические напряжения в сечениях рамы (с учетом собственного веса двигателя) и сравнить их с расчетным сопротивлением материала;

7) сравнить значения максимальных динамических напряжений со значениями, полученными из статического расчета и сделать заключение о прочности рамы.

Расчетное сопротивление стали изгибу принять равным R_u= 210 МПа, модуль упругости стали Е = 200 ГПа, длина L=2,3 м.

2. Определение спектра собственных колебаний по упрощенной схеме

2.1 Выбор номера швеллера

Расчет спектра собственных колебаний рамы можно выполнить, если известна изгибная жесткость стержней, из которых состоит данная рама. В свою очередь, изгибная жесткость зависит от размеров поперечного сечения стержней (в данном случае оно представляет собой два швеллера, повернутые друг к другу длинными сторонами). Для нахождения оптимальных параметров сечения проведем статический расчет исходной рамы на прочность от действия суммарной силы Q + P.

На основании знаний, полученных из курса «Сопротивление материалов», построим эпюру изгибающих моментов.

Рисунок 2 - Эпюра изгибающих моментов

Значение максимального изгибающего момента: . Условие статической прочности:

 (3.1)

где у_max - максимальное нормальное напряжение в поперечном сечении, M_max - максимальный изгибающий момент, W - момент сопротивления сечения, R_и - сопротивление изгибу.

Тогда искомый момент сопротивления сечения:

Поскольку поперечное сечение состоит из двух швеллеров, то:

Выбираем из ГОСТ 8240-97 швеллер №16аП со следующими параметрами: площадь поперечного сечения F=19,5 см², погонная масса , момент сопротивления W_шв=103 см³, момент инерции I_xш=827 см⁴.

Изгибная жесткость сечения:

Масса двигателя:

2.2 Вычисление параметров собственных колебаний

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных к массе э/д.

Рисунок 3 - Единичные эпюры

Вычислим коэффициенты матрицы податливости при помощи построенных эпюр по следующей формуле:

(3.2)

Если принять и m₀=m, то матрица относительных податливостей и матрица относительных масс соответственно примут вид:

 и

Общий вид частотного уравнения:

(3.3)

где и . Его корни:

(3.4)

в данном случае составят л₁=12,099 и л₂=1,901. Собственные частоты:

(3.5)

примут значения щ₁=6,64 с^-1 и щ₂=16,752 с^-1.

Из уравнений

при (заданы при построении эпюр) получим остальные компоненты векторов главных форм колебаний:



Сами векторы: A⁽¹⁾=(1 -0,099)^T A⁽²⁾=(0,099 1)^T.

Рисунок 4 - Направления главных форм колебаний

Проверка подтверждает их ортогональность:

.

3. Расчет спектра собственных колебаний по уточненной схеме

Для начала сосредоточим массы стержней в их средних и крайних точках, причем средней точке каждого стержня придадим половину его массы, а крайним - по ? этой величины. Обозначим эти массы согласно рисунку 5.

Рисунок 5 - Расположение и обозначение сосредоточенных масс

Подсчитаем величину каждой массы m_i и занесем значения в таблицу 1.

Таблица 1 - Значения сосредоточенных масс

Номер массы	Величина, кг
1	1529+8,798=1537,798
2	17,595
3	8,798*2+17,595=35,19
4	17,595
5	8,798+17,595=26,393
6	35,19
7	35,19
8	17,595
9	17,595
?	1740,141

Выполним проверку. Как видно из рисунка 5, суммарная длина всех стержней рамы составляет 6L. Тогда масса всей рамы вместе с электродвигателем составит

,

что согласуется с таблицей 1.

Пронумеруем динамические степени свободы системы с сосредоточенными массам, и, учитывая наложенные связи, направим соответствующим образом оси обобщенных координат (см. рисунок 6).

Рисунок 6 - Направления осей обобщенных координат

Матрица масс для такой системы (при данной нумерации сосредоточенных масс и динамических степеней свободы) будет иметь вид:



Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных к соответствующим сосредоточенным массам по направлениям обобщенных координат (рисунки 7, 8, 9).

Рисунок 7 - Единичные эпюры , ,

Рисунок 8 - Единичные эпюры ,



Рисунок 9 - Единичные эпюры ,

Коэффициенты податливости системы д_ij определим на ЭВМ.

Проконтролируем результаты расчетов сравнением некоторых _i,j, вычисленных вручную и на ЭВМ, а также используя свойство взаимности коэффициентов _i,j = _j,i. Например, в результате ручного расчета получено значение коэффициента ₁₁ = ₀ = 3,99910^-6 м/Н. Расчет на ЭВМ дает значение коэффициента 410^-6 м/Н. Разница объясняется учетом влияния продольных деформаций стержней в машинном расчете, а также погрешностями округления. Ниже в таблице 1 приведены значения коэффициентов в ручном и машинном расчетах (необходимо делать анализ размерностей).

Таблица 1

	Ручной расчет	Расчет на ЭВМ
11	3,99910-6	410-6
22	0,66510-6	0,66610-6
21	-0,33110-6	-0,33310-6

получим следующий вид матрицы относительной податливости (обозначена ниже как D1):



Матрицу C определим выражением

(4.1),

где , и вычислим ее собственные числа л. Пер...