Динамика вращения твердого тела на примере диска и шара радиусом R

Основы динамики вращения твёрдого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси, кинетическая энергия его частиц. Сущность теоремы Гюгенса-Штейнера. Расчет и анализ результатов зависимости момента инерции шара и диска от массы и радиуса.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Курсова робота

з дисципліни фізика

на тему: „Динаміка обертання твердого тіла на прикладі диска та шара радіусом R”

Содержание

Вступление

Глава 1. Динамика вращения твёрдого тела

1.1 Теорема Гюгенса-Штейнера

1.2 Момент инерции диска

1.3 Момент инерции шара

Глава 2. Определим момент инерции шара и диска

2.1 Момент инерции шара радиусом R

2.2 Момент инерции диска радиусом R

Вывод

Список использованной литературы

Вступление

Теорема Гюйгенса - Штейнера , или просто теорема Штейнера(названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса).

Якоб Штейнер - швейцарский математик, основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей 2-го и высших порядков. Получил образование в Инфертене у Песталоцци, в 1818 г. Поступил в Гейдельбергский университет. Окончив там образование, в 1821г., поступил в Берлине учителем в частный институт Пламанна.

С 1825 по 1835-й годы был учителем математики в берлинском городском промышленном училище. С 1835 г. начал преподавание в Берлинском университете в качестве экстраординарного профессора математики. В 1834 г. был избран членом берлинской академии наук.

Умирая в 1863 г. в Берне, он завещал 8000 талеров берлинской академии наук для премии за сочинения по синтетической геометрии. Его собственные работы по геометрии, частью помещенные в различных научных журналах, частью оставшиеся в рукописях, а также его лекции в берлинском университете послужили основанием для издания в 1867 г. книги под заглавием: "Jacob Steiner's Vorlesungen ьber Syntetische Geometrie, bearbeitet von Geiser und Schrцter".

Все его сочинения ("Gesammelte Werke von Jacob Steiner") изданы Вейерштрассом в Берлине в 1881/2 г.

Гюйгенс родился в Гааге. Отец его Константин Гюйгенс (Хёйгенс), тайный советник принцев Оранских, был замечательным литератором, получившим также хорошее научное образование. Молодой Гюйгенс изучал право и математику в Лейденском университете, затем решил посвятить себя науке.

Вместе с братом он усовершенствовал телескоп, доведя его до 92-кратного увеличения, и занялся изучением неба. Первая известность пришла к Гюйгенсу, когда он открыл кольца Сатурна (Галилей их тоже видел, но не смог понять, что это такое) и спутник этой планеты, Титан.

В 1657 году Гюйгенс получил голландский патент на конструкцию маятниковых часов. В последние годы жизни этот механизм пытался создать Галилей, но ему помешала прогрессирующая слепота. Часы Гюйгенса реально работали и обеспечивали превосходную для того времени точность хода. Центральным элементом конструкции был придуманный Гюйгенсом якорь, который периодически подталкивал маятник и поддерживал незатухающие колебания. Сконструированные Гюйгенсом точные и недорогие часы с маятником быстро получили широчайшее распространение по всему миру.

В 1665 году по приглашению Кольбера поселился в Париже и был принят в число членов Академии наук. В 1666 году по предложению того же Кольбера становится её первым президентом. Гюйгенс руководил Академией 15 лет.

В 1673 году под названием «Маятниковые часы» выходит исключительно содержательный труд по кинематике ускоренного движения. Эта книга была настольной у Ньютона, который завершил начатое Галилеем и продолженное Гюйгенсом построение фундамента механики.

1681 год: в связи с намеченной отменой Нантского эдикта Гюйгенс, не желая переходить в католицизм, вернулся в Голландию, где продолжил свои научные исследования.

динамика вращение инерция шар диск

Глава 1. Динамика вращения твёрдого тела

Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных частей, масса каждой из которых равна Дmi и радиус вращения равен ri. Кинетическая энергия i-ой частицы равна:

(1.1)

Кинетические энергии различных частиц различны, так как различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:

(1.2)

или

(1.3)

Поскольку угловая скорость щ одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:

(1.4)

Величина I называется моментом инерции твердого тела. Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции частиц, составляющих это тело. Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела примет вид:

1.1 Теорема Гюйгенса-Штейнера

(1.5)

Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

; (1.6)

Где

d -расстояние между осями;

- момент инерции тела относительно оси, проходящий через центр масс, который определяется:

; (1.7)

Так как б=R, то момент инерции относительно оси проходящей через т. А определяется:

(1.8)

1.2 Момент инерции диска

Дифференциал массы равен моменту инерции этого кольца:

(1.9)

Рис. 1.1

Тогда масса кольца определяется:

(1.10)

Дифференциал момента инерции равен моменту инерции этого кольца:

(1.11)

Отсюда следует:

(1.12)

Момент инерции диска равен:

(1.13)



1.3 Момент инерции шара

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

(1.14)

Рис. 1.2

Масса и момент инерции такого диска составят

(1.15)

(1.16 )

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

(1.17)

Глава 2. Определение момента инерции шара и диска

2.1 Момент инерции шара

Дан шар, радиусом R. Найти момент инерции шара, произвольной массой.

Дано:

Произведём подстановку числовых значений и получили таблицу (2.1) :

Зависимость момента инерции шара от массы и радиуса

м,кг	R,м	J,
1	1	0,4
2	2	3,2
3	3	10,8
4	4	25,6
5	5	50

Таб. (2.1.)

Вывод: из формулы (2.1.) видно, что момент инерции шара пропорционален произведению массы шара на квадрат его радиуса.

2.2 Момент инерции диска

Дан диск произвольной массой и радиусом. Найти момент инерции диска.

Дано:

Произведём подстановку числовых значений и получили таблицу (2.2) :

Зависимость момента инерции диска от массы и радиуса

m(кг)	R(м)	J()
1	... Другие файлы: Динамика вращательного движения твердого тела Кинетическая энергия вращения твердого тела и момент инерции тела относительно нецентральной оси. Основной закон динамики вращения твердого тела. Вычи... Динамика механической системы и твердого тела Виды систем: неизменяемая, с идеальными связями. Дифференциальные уравнения движения твердого тела. Принцип Даламбера для механической системы. Главны... Кинематика твердого тела Основы движения твердого тела. Сущность и законы, описывающие характер его поступательного перемещения. Описание вращения твердого тела вокруг неподви... Динамика твердого тела Основные задачи динамики твердого тела. Шесть степеней свободы твердого тела: координаты центра масс и углы Эйлера, определяющие ориентацию тела относ... Фигуры и тела вращения Решение задач по геометрии. Составление кроссвордов на тему "Тела и фигуры вращения". Математика и история. Модель "Седла" - пример криволинейной пове...