Анализ переходных процессов токов и напряжений всех ветвей электрической цепи

Классический метод расчёта и анализ цепи до коммутации. Режим постоянного тока и сопротивление индуктивности. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации. Определение постоянных интегрированием и нахождение собственных чисел матрицы.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Содержание

1. Классический метод расчёта

2. Операторный метод расчёта

3. Воздействие гармонической ЭДС

4. Метод переменных состояния

5. Определение комплексной частотной характеристики

6. Определение временных характеристик цепи

Заключение

Литература

Аннотация

Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации.

В данном курсовом проекте необходимо выполнить следующие расчёты: определить зависимости тока через индуктивность от времени при воздействии постоянной ЭДС классическим и операторным методами, найти зависимость тока через индуктивность от времени при воздействии гармонической ЭДС, получить график зависимости тока через индуктивность от времени численным методом, определить комплексную частотную характеристику и временные характеристики цепи.

1. Классический метод расчёта

Рисунок 1.

1. Анализ цепи до коммутации. Определяется значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации (ключ замкнут). В режиме постоянного тока сопротивление индуктивности равно нулю, а емкости -- бесконечности. Тогда

Здесь для нахождения мы составили уравнение закона напряжений Кирхгоффа.

2.Определение независимых начальных условий. Независимыми начальными условиями являются ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени , которые определяются по первому и второму законам коммутации:

После подстановки получаем:



3. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации. После коммутации в цепи вновь установится режим постоянного тока. При этом ключ уже разомкнут. В этом случае ток в цепи не течет и

;

4. Определение свободной составляющей реакции цепи. Составляется характеристическое уравнение цепи после коммутации. Для этого записывается выражение входного сопротивления цепи относительно источника, причем в цепи емкость заменяется на эквивалентное сопротивление , а индуктивность заменяется на эквивалентное сопротивление . Затем это выражение приравнивается к нулю. Уравнение является характеристическим. В нашем случае характеристическое уравнение может быть определено как

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:

Подставляя исходные данные и решая характеристическое уравнение, получаем корни:

Следовательно, свободная составляющая тока при двух комплексно-сопряженных корнях имеет вид

,

где

5. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи находится путем суммирования свободной и принужденной составляющих реакции цепи:

6. Определение постоянных интегрирования. Для определения постоянных интегрирования и записываются уравнения для свободной составляющей тока и ее первой производной при :

С учетом того, что найдем

Для определения записываются уравнения Кирхгоффа для цепи в момент после коммутации , причем в цепи емкость заменяется источником напряжения , а индуктивность - источником тока . Напряжение на индуктивности равно :

(1)

(2)

(3)

Решая эту систему, получаем

Подставив найденные величины в систему уравнений для определения постоянных интегрирования, получим:

Эта система имеет решение

7. Окончательная запись реакции цепи.

График зависимости тока представлен на рисунке 2:



Рисунок 2. График зависимости тока

2. Операторный метод расчета

1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия определяются аналогичным образом, как и в классическом методе:

2. Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Поскольку цепь имеет ненулевые начальные условия, то с учетом внутренних источников ЭДС операторная схема замещения цепи после коммутации будет иметь вид представленный на рисунке 3.

Рисунок 3 - Операторная схема замещения

Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Для цепи рис.3 можно составить систему уравнений Кирхгофа:

4. Решение уравнений Кирхгофа относительно изображений искомых токов и напряжений. Полученная система уравнений решается простой подстановкой, и решение имеет вид:

Операторное изображение напряжения может быть представлено в виде

5. Определение оригинала изображения искомого тока. Для этого найдем полюсы функции изображения

Полюсы комплексно-сопряженные, поэтому общий вид функции во временной области

где

- вычет в том полюсе, у которого мнимая часть имеет положительный знак. Вычеты определяются по общей формуле

.

В нашем случае поэтому

Полученное выражение совпадает с результатом, полученным при решении классическим методом.

График зависимости тока представлен на рисунке 4:

Рисунок 4. График зависимости тока

3. Воздействие гармонической ЭДС

1. Анализ цепи до коммутации. Определяется значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации (ключ замкнут). Так как в цепи действует источник гармонического напряжения, то для анализа следует воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Для исходной схемы составляется комплексная схема замещения цепи (рисунок 5) и определяются ее параметры следующим образом:

Рисунок 5. Комплексная схема замещения

,

Подставляя численные значения, получаем:

 Ом

Для активных сопротивлений комплексная и действующая формы совпадают.

Определяем ток :

Далее запишем закон напряжений Кирхгофа для первого контура:

, откуда с учетом получаем

Зная значение тока , определяется комплексное амплитудное значение напряжения на емкости:

Значение напряжения на емкости к моменту коммутации будет соответственно равно

Далее записываем уравнения Кирхгофа для второго контура



Отсюда

Комплексное амплитудное значение тока через индуктивность до коммутации определяется как:

Значение тока к моменту коммутации:

Таким образом, определены значения тока в индуктивности и напряжения на емкости непосредственно перед коммутацией. Они составляют:

и

2. Определение независимых начальных условий. Независимыми начальными условиями являются ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени , которые определяются согласно первому и второму законам коммутации:

Следовательно,

3. Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Поскольку цепь имеет ненулевые начальные условия, то с учетом внутренних источников ЭДС операторная схема замещения цепи после коммутации будет иметь вид представленный на рисунке 6.

Рисунок 6 - Операторная схема замещения

3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Для цепи рис.6 можно составить систему уравнений Кирхгофа:

В данном случае E(p) - изображение по Лапласу гармонического

воздействия:

4. Решение уравнений Кирхгофа относительно изображений искомых токов и напряжений. Полученная система уравнений имеет решение



5. Определение оригинала изображения искомого тока проводим по методу, изложенному в п.2. Искомый ток

Можно сделать вывод, что вид свободной части реакции цепи совпадает с найденным ранее. Это связано с тем, что свободная составляющая не зависит от внешних воздействий и определяется только параметрами цепи.

График зависимости тока представлен на рисунке 7:

Рисунок 7. График зависимости тока

4. Метод переменных состояния

Рисунок 8.

1) Составление системы дифференциальных уравнений цепи. Для составления системы дифференциальных уравнений записывается система уравнений цепи по Кирхгофу:

Учтем, что и :

2) Эта система просто разрешается относительно производных:



3) Запишем полученную систему уравнений для переменных состояния в матричной форме:

Т.е ,

где

Таким образом,

На данном этапе можно проконтролировать правильность действий. Для этого найдем собственные числа матрицы А:

Видно, что найденные собственные числа совпадают с корнями характеристического уравнения цепи.

4) Численный метод решения

Решим численно матричное уравнение .

Начальные условия и найдены в пункте 1....