Анализ моделей движения материальной точки вблизи положения равновесия

Сравнительный анализ существующих методов построения моделей малых движений точки вблизи положения равновесия. Особенности применения математического аппарата операционного исчисления к построению таких моделей, алгоритм построения в в программе MatLab.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

14

Размещено на

Анализ моделей движения материальной точки вблизи

положения равновесия

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Моделирование движения точки, имеющей три степени свободы

1.1 Математическое описание движения

1.2 Решение системы ОДУ операционным методом

1.3 Решение системы ОДУ классическим методом

1.4 Построение траектории движения выбранной системы

1.5 Построение моделей в программе MatLab

1.5.1 Построение модели операционным методом

1.5.2 Построение модели классическим методом

2.Сравнение моделей движения материальной точки

Заключение

Библиографический список

Введение

Рассмотрим систему движения материальной точки, которая под действием внешних воздействий совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Еще более наглядной иллюстрацией таких колебаний является движение морского буя, представленное на рисунке 1, который под действием прибоя совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Моделирование движения такого буя может быть полезно при проектировании волновых энергетических установок, интерес к которым непрестанно растет в связи с научно-исследовательскими работами в области альтернативных источников энергии.

Рис.В.1. График движения точки вблизи положения равновесия

модель малого движения точки

В теории колебания зачастую приходится сталкиваться с необходимостью решения дифференциальных уравнений. Существует несколько принципиально разных подходов решения данной задачи.

Дифференциальные уравнения можно решать аналитически, численно и с помощью специальных методов математического анализа (операционный метод). Зачастую инженер, неплохо разобравшись с одним методом, применяет этот метод к другим схожим задачам, например, сейчас широкое распространение получили численные методы. Связанно это в первую очередь с широким распространением компьютерной техники. Численные методы позволяют решать большой класс задач практически любой сложности, однако, требуют громоздких и трудоемких однотипных выкладок, которые сложно решаются вручную. Увеличение сложности задач приводит к тому, что решение напрямую с помощью численных методов становится нецелесообразным, так как занимает слишком много времени и машинных ресурсов.

Между тем, многие задачи значительно упрощаются, если при их решении применять операционное исчисление, это позволило бы оптимизировать использование вычислительных мощностей при изучении колебательных процессов различной природы.

Целью данной работы является исследование алгоритмов построения моделей малых движений тела вблизи положения равновесия и выявление более эффективного метода.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

-рассмотрение особенностей задачи малых движений тела;

- изучение методов решения дифференциальных уравнений;

-построение моделей движения тела;

-практическая реализация построенных моделей;

- выявление преимуществ и недостатков каждого метода с точек зрения теории и практики;

1. Моделирование движения точки, имеющей три степени свободы

В общем виде, точка в трехмерном пространстве может иметь три степени свободы, и ее колебание в таком случае будет являться сложением колебаний по каждому из свободных направлениям. Примером такого движения могут служить колебания атомов в кристаллической решетке.

Еще более наглядной иллюстрацией таких колебаний является движение морского буя (см. рис. 1.1), который под действием прибоя совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Моделирование движения такого буя может быть полезно при проектировании волновых энергетических установок, интерес к которым непрестанно растет в связи с научно-исследовательскими работами в области альтернативных источников энергии.

Рисунок 1.1. Морской буй

Сравним алгоритмы построения модели малых движений буя относительно точки равновесия при помощи различных методов. При ее построении будем руководствоваться базовыми принципами построения математических моделей

1. Исходя из принципа множественности моделей, зададимся целью построить модель, описывающую траекторию движения буя.

2. Исходя из принципа информационной достаточности, условимся считать буй полой сферой при рассмотрении действующих на него архимедовой силы и силы сопротивления среды и материальной точкой во всех других случаях.

3. Исходя из принципа осуществимости, условимся считать движение буя суперпозицией движений по ортам трехмерной Декартовой системы координат.

1.1 Математическое описание движения

Этот этап алгоритма построения модели будет общим для всех методов, так как вне зависимости от применяемого математического аппарата, движение подчиняется строго определенным физическим закономерностям.

Траектория движения буя будет являться пространственной кривой, определяющейся системой (1.1.1), состоящей из 3 неоднородных дифференциальных уравнений:

(1.1.1)

- проекции вынуждающей внешней силы на соответствующие оси координат. В случае свободных колебаний (волны отсутствуют) и система (1.1.1) будет являться системой однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

- коэффициенты инерции. Строго говоря, эти коэффициенты согласно релятивистской теории, зависят от скоростей и при разных значениях скоростей по разным направлениям, должны отличаться друг от друга. Но поддающиеся регистрации отличия величин этих коэффициентов могут быть зафиксированы на скоростях, значительно превышающих любые скорости, достигаемые природными и техногенными макрообъектами в земных условиях. Исходя из этого, корректно пренебречь релятивистскими эффектами, поэтому

- коэффициенты сопротивления. В силу изотропности воды коэффициенты сопротивления одинаковы во всех направлениях

- квазиупругие коэффициенты восстановления. Коэффициенты, соответствующие движениям в горизонтальной плоскости , будут определяться упругими свойствами троса. Коэффициент будет включать в себя еще составляющую архимедовой силы.

Таким образом, для определения траектории движения необходимо решить систему уравнений.

(1.1.2)

1.2 Решение системы однородных дифференциальных уравнений операционным методом

Определим абсциссу траектории как функцию времени. Рассмотрим первое уравнение системы (1.1.2)

Для получения общего решения рассмотрим задачу Коши с произвольными начальными условиями по примеру .

Пусть , тогда и

Заметим, что - начальное положение точки и - ее начальная скорость.

,

,

,

.

Воспользуемся элементарным методом нахождения функции оригинала. В силу свойства линейности преобразования Лапласа

Представим изображение в виде линейной комбинации изображений простейших функций, каждое из которых может быть сопоставлено соответствующему оригиналу при помощи таблицы стандартных изображений.

 = =

==

Для более компактной записи введем , тогда

,

(1.2.1)

Аналогичным образом определяются ордината и аппликата траектории:

(1.2.2)

(1.2.3)

Выражения (1.2.1) - (1.2.3) вместе представляют собой уравнение траектории движения буя в параметрической форме.

1.3 Решение системы однородных дифференциальных уравнений классическим методом

Рассмотрим первое уравнение системы (1.1.2). Преобразуем его, сократив на множитель .

(1.3.1)

Обозначим для удобства , и составим характеристическое уравнение, соответствующее выражению (1.3.2):

Найдем корни характеристического уравнения по теореме Виета:

В зависимости от значений коэффициентов p и q возможны 4 случая.

Случай 1

Если сопротивление p настолько велико, что подкоренное выражение положительно, то корни характеристического уравнения будут действительными отрицательными числами. Общее решение будет

(1.3.3)

Из равенства (1.3.3) следует, что отклонение с течением времени стремится к 0 (буй движется к положению равновесия). Колебаний в этом случае не будет.

Случай 2

Если сопротивление таково, что , то

Общее решение будет

(1.3.4)

Здесь буй так же, как и в первом случае, стремится к положению равновесия, но более медленно, благодаря наличию сомножителя t.

Случай 3

Если сопротивление отсутствует, то есть , то корни

,

где .

Общее решение будет

(1.3.5)

В уравнении (3.5) заменим постоянные и другими, для чего разделим у умножим пр...