Акустические волны в среде с флуктуирующей плотностью

Свойства и структура акустических волн. Дисперсионное соотношение для волн в неоднородной упругой среде с флуктуирующей плотностью: одномерный и трехмерный случаи. Корреляционные функции, метод релаксации для решения систем нелинейных уравнений.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

Введение

Аморфное состояние формируется, как правило, из жидкого или парообразного в условиях сверхбыстрой закалки, предотвращающей кристаллизацию. Отличительными особенностями такого состояния являются отсутствие дальнего порядка в расположении атомов и неравновесность. Структурный беспорядок аморфной фазы характеризуется флуктуациями величины межатомных расстояний, а так же плотности вещества. Кроме того, в сплавах имеют место флуктуации концентрации атомов различных компонентов (химический беспорядок). В аморфном состоянии отсутствует точка плавления. При повышении температуры аморфное вещество размягчается и переходит в жидкое состояние постепенно. Эти особенности обусловлены отсутствием в аморфном состоянии так называемого дальнего порядка- строгой периодической повторяемости в пространстве одного и того же элемента структуры. В то же время у вещества в аморфном состоянии существует согласованность в расположении соседних атомов- так называемый ближний порядок, соблюдаемый в пределах первой координационной сферы, и постепенно теряющийся при переходе ко второй и третей сферам, т.е. соблюдающийся на расстояниях, сравнимых с размерами кристаллической ячейки. С расстоянием согласованность уменьшается и через 5-10 исчезает [1].

1. Акустические волны

Кристаллический и ориентационный порядки сильно отличаются. Ориентация сохраняется на расстояниях 100-1000 , когда кристаллический порядок разрушен. На рис. 1 условно изображена атомная структура, в которой координаты атомов существенно стохастизуются уже при расстояниях , а ориентация оси кристаллографической ячейки сохраняется примерно однородной на гораздо больших расстояниях . Такая модель (с разными элементами стохастизованной кристаллической решетки, имеющими разные корреляционные радиусы) существенно меняет представление о структуре аморфного состояния.

Рис. 1. Условное изображение модели атомной структуры аморфного вещества, в которой различным параметрам стохастизованной решетки соответствуют различные радиусы корреляций. Расстояния между атомами (черными кружками) стохастизованы на расстояниях , средняя ориентация элементарной ячейки (прямоугольники) имеет гораздо больший радиус корреляций .

Корреляционный радиус экспериментально определяется методами хорошо развитыми для кристаллических материалов (рентгеновская, электронная, нейтронная спектроскопии). Для определения корреляционных радиусов порядка 100-1000 потребовалось обоснование и развитие новых методов исследования. Теоретически было показано, что корреляционные радиусы крупномасштабных композиционных и структурных неоднородностей должны проявляться в виде характерных особенностей на законах дисперсии и затухании всех элементарных возбуждений твердого тела: спиновых, упругих [2, 3], плазменных, и электромагнитных волн [4].

В данной работе рассматриваются упругие волны, распространяющиеся в среде с флуктуирующей плотностью. Решение задачи проводится методом, развитым в работе [2], однако спектральные характеристики вычисляются в приближении Бурре.

2. Дисперсионное соотношение для волн в неоднородной упругой среде

2.1 Одномерный случай

Объемная плотность лагранжиана для вектора упругого смещения в сплошной одномерной среде определяется выражением

, (1)

где первый и второй член- плотность кинетической и потенциальной энергии, соответственно, G- плотность вещества, A- константа взаимодействия. Уравнение движения имеет вид

. (2)

Для начала рассмотрим случай, когда G и A постоянные величины, не зависящие от координаты.

, , (3)

. (4)

Получили уравнение колебаний в привычном виде.

Положим, что плотность вещества меняется в зависимости от координаты , а константа взаимодействия остается постоянной.

, , (5)

. (6)

Удобно переписать , где G- средняя плотность, - среднеквадратичная флуктуация плотности, - безразмерная случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю , и дисперсией . Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайных функций.

. (7)

Положим, что константа взаимодействия меняется в зависимости от координаты , а плотность вещества остается постоянной. Сразу заменим

, (8)

, , (9)

. (10)

В большинстве реальных материалов, преобладает неоднородность какого-то одного физического параметра. Поэтому мы здесь не будем рассматривать случай одновременных флуктуаций A и G.

Рассмотрим уравнение колебаний (7) с неоднородной плотностью G(x).

Выполним в (7) преобразование Фурье

. (11)

В (11) после интегрирования по возникает свертка.

, (12)

где . (13)

Введем обозначения

, , (14)

тогда уравнение (12) перепишется в виде

. (15)

Если положить (), т.е. плотность среды однородная, то уравнение (15) принимает вид

. (16)

Поскольку амплитуда упругой волны отлична от нуля, то уравнение (16) выполняется при . Решение этого дисперсионного уравнения дает линейный закон дисперсии волны

, (17)

где - скорость звука, - волновой вектор возбуждений.

В случае неоднородной плотности, закон дисперсии должен некоторым образом модифицироваться. Получим эту модификацию на основе теории возмущений, считая параметр .

Запишем формальное решение уравнения (15)

. (18)

Подставим это решение в подинтегральное выражение уравнения (15), получим

. (19)

Учитывая, что

, (20)

усредним по случайным реализациям

. (21)

Приближенно расцепляем коррелятор

. (22)

Для однородной случайной функции справедливо , или

, (23)

где - спектральная плотность корреляционной функции. Подставим (23) в (21)

, (24)

выполним интегрирование по , получим

. (25)

Таким образом получено дисперсионное уравнение в приближении Бурре (25) для усредненной волны.

Дисперсионное соотношение несет информацию о спектральной плотности , т.е. о корреляционной функции флуктуирующего в пространстве параметра плотности среды.

Для оценок выберем экспоненциальную корреляционную функцию и связанною с ней преобразованием Фурье спектральную плотность (см. приложение 1).

; , (26)

где - характерное волновое число (2/характерный размер неоднородности, - радиус корреляций случайной функции , описывающей неоднородности); D- дисперсия (в нашем случае D=1 по определению).

Подставим (26) и (14) в (25), получаем

. (27)

Введем обозначения . Тогда уравнение (27) примет вид

(28)

или

. (29)

Из граничных условий , где - действительные и положительные числа, а k- действительное волновое число, определяемое размерами образца.

Под интегралом будем считать - действительным. В соответствии с выбранной формой преобразования Фурье имеем

. (30)

С учетом (30) введем обозначение

. (31)

Этот интеграл вычислим методом вычетов вводя комплексную переменную Z. Контур представлен на рис. 2. .

Рис. 2. Контур интегрирования. Обход против часовой стрелки

Особые точки- полюсы первого порядка. В результате имеем

. (32)

Подставив (32) в уравнение (29), получим

. (33)

Решая это уравнение получим модифицированный закон дисперсии и затухания волны в приближении Бурре.

Удобно работать с безразмерными величинами. Введем обозначение , . Тогда (33) принимает вид

. (34)

Как было указано выше, , . Тогда уравнение (34) от комплексной переменной , можно представить в виде системы двух уравнений

(35)

Получили нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Эта система была решена двумя способами: с помощью вложенного в Maple 10 численного метода решения систем уравнений и метода релаксации (см. приложение 2). Совпадение получилось до шестого знака.

Если в правой части (33) положить как это делалось в работах [2], (разложение Релея-Шредингера), то имеем

. (36)

Таким образом, для модифицированного закона дисперсии упругой волны получаем простое выражение,

, (37)

совпадающее с соответствующим выражением в работе [2].

В безразмерных величинах (36) принимает вид

. (38)

На рис. 3 приведены кривые: сплошные- приближение Бурре (решение системы (35)), штриховые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая- линейный закон дисперсии. Было взято.

Рис. 3. Дисперсионные соотношения. Сплошные кривые- приближение Бурре (решение системы...