Характеристики систем автоматического управления
Краткое сожержание материала:
2
Теория автоматического управления
Тема:
"Характеристики систем автоматического управления"
1. Статические характеристики САУ
Статические характеристики определяют статику системы, т.е. ее поведение в установившемся режиме.
Статической характеристикой называется отношение выходной величины к входной величине в установившемся режиме.
Статические характеристики позволяют: определить коэффициент усиления системы; степень ее нелинейности; величину статизма; произвести согласование рабочих точек системы.
2. Динамические характеристики САУ
Динамические характеристики определяют динамику системы, т.е. ее поведение в неустановившемся (переходном) режиме. При этом используют следующие основные динамические характеристики:
- передаточная функция;
- временные характеристики;
- частотные характеристики.
2.1 Передаточная функция системы и ее свойства
Дифференциальное уравнение линейной системы имеет вид:
(1)
где аi и bi - параметры системы, n-порядок системы.
Если применим теоремы Лапласа при нулевых начальных условиях, то дифференциальное уравнение в операторной форме запишется следующим образом
где
Физически нулевые начальные условия обозначают, что до приложения воздействия система находилась в покое.
Передаточная функция системы есть отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях
(2)
Основные свойства передаточной функции:
1. Передаточная функция является полной характеристикой системы.
Она полностью характеризует статические и динамические свойства системы.
2. Статический коэффициент усиления, т.е. коэффициент усиления в установившемся режиме (при t или p0) равен
.
3. Полином знаменателя называется характеристическим, а A(p) = 0 называется характеристическим уравнением. Корни полинома знаменателя называются полюсами, а числителя нулями.
Степень полинома числителя не превышает степени полинома знаменателя (nm), в противном случае система является физически нереализуемой.
5. Коэффициенты полиномов ai и bi обусловлены реальными физическими параметрами системы.
6. Передаточная функция может быть задана в виде нулей и полюсов в графическом виде.
Рис. 1
Например, для приведенного на рис. 1 расположения нулей (0) и полюсов (х) передаточная функция имеет вид:
.
2.2 Временные характеристики САУ
Временной характеристикой системы называется закон изменения выходной величины в функции времени при изменении входного воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения воздействия система находилась в покое. Временные характеристики определяются как реакция системы на типовые воздействия при нулевых начальных условиях.
К основным временным характеристикам относятся переходная функция и функция веса.
Типовые воздействия. В качестве типовых воздействий при исследовании систем используются:
- единичная функция;
- единичный импульс;
- линейно - растущее воздействие;
- квадратичное воздействие;
- гармоническое воздействие;
- «белый шум» (используется при исследовании стохастических систем).
Единичная функция. Единичная функция - воздействие, амплитуда которого равна 0 при t < 0 и равна 1 при t 0.
Свойства единичной функции и единичной функции со сдвигом определяются соотношениями:
или (3)
а их графическое изображение имеет вид, приведенный на рис. 2а, б.
а) б)
Рис. 2
При этом изображение единичного воздействия имеет вид:
(4)
Единичный импульс. Единичный импульс ( - функция) - это идеализированный сигнал, который характеризуется бесконечно малой длительностью, бесконечно большим уровнем (амплитудой) и площадью равной единице.
Единичный импульс и импульс со сдвигом описываются соотношениями:
или (5)
а их графическое изображение имеет вид, приведенный на рис. 3а, б.
а) б)
Рис. 3
При этом изображение единичного импульса имеет вид
(6)
Основные свойства дельта - функции
1. - площадь или интенсивность - функции;
2. -фильтрующее свойство;
3. ;
- связь - функции с единичной функцией;
5. .
Свойства дельта - функции широко используются в методах исследования САУ.
Линейно-растущее воздействие. Линейно-растущее воздействие - это воздействие с постоянной скоростью изменения сигнала. Такое воздействие чаще всего используется для определения точности систем и описывается соотношением:
. (7)
Графическое изображение линейно - растущего воздействия имеет вид, приведенный на рис. 4а.
При этом,
. (8)
а) б)
Рис. 4
Квадратичное воздействие. Квадратичное воздействие - это воздей-ствие с постоянным ускорением изменения сигнала. Такое воздействие чаще всего используется для определения точности систем и описывается соотношением:
. (9)
Графическое изображение квадратичного воздействия имеет вид, приведенный на рис. 5.
При этом,
. (10)
Переходная функция. Переходная функция h(t) - реакция системы на единичное воздействие при нулевых начальных условиях.
Пусть задана система (рис. 5) с передаточной функцией K(p)
Рис. 5
В изображениях выходная величина равна .
Так как , то изображение выходной величины равно
.
При этом связь между передаточной и переходной функцией имеет вид:
. (11)
Начальное значение переходной функции равно нулю, а установившееся значение определяется с помощью теоремы о конечном значении функции
. (12)
Весовая функция. Весовая функция k(t) - реакция системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях.
Пусть задана система (рис. 6) с передаточной функцией K(p)
Рис. 6
В изображениях выходная величина равна , а в оригиналах определяется с помощью интеграла свертки
. (13)
Так как , то .
При этом связь между передаточной и весовой функцией имеет вид:
, (14)
т.е. весовая функция представляет оригинал передаточной функции.
Установившееся значение весовой функции определяется с помощью теоремы о конечном значении функции
. (15)
Связь между переходной и весовой функцией имеет вид:
. (16)
Методы определения временных характеристик
Существуют различные методы расчета переходных процессов, при этом наиболее часто используются следующие методы:
1. Классический метод.
2. Операторный метод, использующий разложение на простые дроби.
3. Операторный метод, использующий вычеты.
Метод аналогового и цифрового моделирования.
5. Метод трапеций.
Рассмотрим некоторые методы определения временных характеристик на конкретных примерах.
Классический метод расчета временных характеристик
Классический метод расчета временных характеристик основан на решен...
Теория автоматического управления
3 МбСтраницы: 351Описание:Основные понятия и определения. Математический аппарат исследования систем автоматического управления. Динамические звенья...
Принципы построения систем автоматического управления
Теория автоматического управления как наука, предмет и методика ее изучения. Классификация систем автоматического управления по различным признакам, и...
Основы автоматического управления
Рассмотрены основные понятия, цели и принципы управления. Описан математический аппарат исследования систем автоматического управления: основные элеме...
Типовые звенья в системах автоматического управления
Динамические характеристики типовых звеньев и их соединений, анализ устойчивости систем автоматического управления. Структурные схемы преобразованной...
Принцип построения систем автоматического управления
Принципы функционирования и схемы систем автоматического управления по отклонению и возмущению, их достоинства и недостатки. Построение статистической...