Зависимость функций плотности вероятности, кумулятивного и обратного кумулятивного распределений от их параметров. Представление примеров вычисления вероятностей и доверительных интервалов. Рассмотрено нормального, логнормального, бинарного распределения.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Эконометрическое моделирование»

Теоретические распределения данных

Введение

В данной курсовой работе раскрывается тема «Теоретическое распределение данных»: демонстрируется зависимость функций плотности вероятности, кумулятивного и обратного кумулятивного распределений от их параметров. Представлены примеры вычисления вероятностей и доверительных интервалов. Рассмотрены нормальное и логнормальное распределения, распределения Пуассона и бинарное распределение.

Целью работы является изучить различные распределения данных, а также ознакомиться с программой MATLAB.

вероятность распределение доверительный интервал

1. Теоретические распределения данных

Для численного и графического представления теоретических распределений данных в MATLAB имеются 3 типа файл-функций, включающих в свое имя аббревиатуры pdf, cdf или inv, расшифровка и перевод которых даны в следующей таблице:

	Полное название >	Использованные в книге термины
pdf	probability density function	функция плотности вероятности
cdf	cumulative distribution function	функция кумулятивного распределения
inv	inverse cumulative distribution function	функция обратного кумулятивного распределения

Файл-функции с указанными аббревиатурами оперируют числовыми переменными среды MATLAB и потому эквивалентны в представлении как непрерывных, так и дискретных распределений. Для дискретных распределений файл-функции pdfs (Probability density functions) вычисляют вероятности значений случайной переменной, для непрерывных - плотность вероятности значений случайной переменной. Еще заметим, в Help MATLAB при повторных или безальтернативных ссылках на файл-функции pdf, cdf и inv чаще используется одно слово distribution, т.е. «распределение».

1.1 Непрерывные распределения

1.1.1 Общие положения

Если задана функция плотности вероятности f (x| а, b,…), где х - случайная переменная, принимающая непрерывный ряд значений, а, b,… - параметры распределения, то функция кумулятивного распределения

F (x|a, b,…)=

определяет вероятность того, что случайная переменная принимает значение, меньшее х.

Аналогично определяются вероятности того, что случайная переменная принимает значение, большее x, и значение, находящееся в интервале [x₁, x₂]. В краткой форме все три вероятности записывают так:

P (y<x) = F(x), P (y>x) = l-F(x), P(x₁?y<x₂) = F(x₂) - F(x₁).

Дифференцирование функции кумулятивного распределения приводит к функции плотности вероятности

f (x|a, b,…)=F (x|a, b,…).

Вероятность попадания случайной переменной в интервал [x₁, x₂] определяется интегралом от функции плотности вероятности:

Р(x₁?у<x₂) = x|a, b.) dx.

Нормировка плотности вероятности:

В Help MATLAB принята символическая форма записи функции обратного кумулятивного распределения

x = F^-1(p|a, b,…), где p = F (x|a, b,…).

Обратное кумулятивное распределение используется для оценок такого значения x_q случайной переменной, при котором функция кумулятивного распределения принимает значение, равное q, т.е.

F(x_q,|a, b.)=(x|a, b,…) dx=q.

Из этого уравнения следует, что величина уровня q = P (x?x_q) определяет вероятность того, что случайная переменная примет значение, меньшее или равное x_q. Величина x_q имеет называние «quantile». По-русски слово «квантиль» женского рода с ударением на втором слоге.

Для вычисления квантилей решают интегральное уравнение

x_q=F^-1(q|a, b,…).

Квантиль x_0,5 называется медианой (median), квантили x_0,25 и x_0,75 - соответственно нижняя квартиль и верхняя квартиль (quartile). Например, медиана вычисляется решением интегрального уравнения

.

Наряду с квантилями используют процентили (percentiles)

x_p=x_q*100%.

Процентиль х_50% также называется медианой, процентили х_25% и х_75% -соответственно нижняя и верхняя квартиль.

Модой х_m случайной величины называют ее значение, при котором функция распределения достигает максимума. Вычисляют моду решением уравнения

.

Еще раз обратим внимание, слова «квантиль», «квартиль», «процентиль», «медиана», «мода» женского рода.

Среднее значение (центр) распределения случайной переменной:

µ=.

Дисперсия (мера рассеяния) случайной переменной определяется как среднее значение квадрата отклонения значений случайной переменной от ее среднего значения,

D_у.

Величину у = = называют стандартным отклонением. При интерпретации статистических результатов предпочтительнее обращаться именно к у, а не к у², в связи с тем, что величина стандартного отклонения у имеет размерность исследуемой случайной переменной и потому легче воспринимается в качестве количественной характеристики.

Третий центральный момент

M₃=

определяет величину

A=

коэффициента асимметрии распределения относительно его среднего. Для значений А<0 данные распределены в большей мере слева от среднего, для А>0 - справа. Для распределений, симметричных относительно среднего, например, нормального, А = 0.

Четвертый центральный момент

M₄=

определяет величину

E=-3

коэффициента эксцесса (меру островершинности) распределения.

1.1.2 Нормальное (гауссово) распределение

Функция плотности вероятности

Базовая роль нормального распределения N (µ, у) в анализе статистических данных связана с тем, что если результаты наблюдений определяются большим числом факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то такой массив данных хорошо аппроксимируется нормальным распределением с соответствующим образом подобранными величинами среднего и стандартного отклонения.

Нормальное распределение находит применение в анализе

результатов большинства физических измерений,

финансово-экономических данных и маркетинговых исследованиях,

данных, полученных в результате исследования технологических, социальных, экологических и других процессов.

Функция плотности вероятности нормального распределения

f (x|µ, у)=

со средним значением µ случайной переменной х и стандартным отклонением у представлена в MATLAB файл-функциями normpdf (x, mu, sigma) или pdf ('Normal', x, mu, sigma).

Построить графики плотностей нормальных распределений со средним значением

µ= 0 и стандартными отклонениями у= 1,2,3 (рис. 1.1).

x=-4:0.1:4;

mu=0; sigma=1;

while sigma<=3

f=normpdf (x, mu, sigma);

%f = pdf ('Normal', x, mu, sigma);

plot (x, f, 'k', 'LineWidth', 1.5)

hold on

sigma=sigma+1;

end

title ('Плотность нормального распределения,\mu=0, \sigma=var')

xlabel (' x ')

ylabel (' f ')

text (-0.25, 0.38, '\sigma_1=1');

text (-0.25, 0.18, '\sigma_2=2');

text (-0.25, 0.12, '\sigma_3=3');



Из рис. 1.1 следует, что увеличение стандартного отклонения приводит к расплыванию плотности распределения случайной переменной.

Построить графики плотностей нормальных распределений со средними значениями µ= 0,1,2 и стандартным отклонением у= 1 (рис. 1.2).

x=-4:0.1:4;

mu=0; sigma=1;

while mu<=2

f=normpdf (x, mu, sigma);

plot (x, f, 'k', 'LineWidth', 1.5)

hold on

mu=mu+1;

end

%

title ('Плотность нормального распределения,\mu=...