Розробка шаблону математичного класу багатовимірних векторів

Поняття та види векторів. Прості математичні операції над ними. Векторний добуток, його геометричні та алгебраїчні властивості. Визначення та реалізація програмного класу багатовимірних векторів. Перевантажені оператори та дружні оператор-функції.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

44

Размещено на

Міністерство освіти та науки України

Криворізький державний педагогічний Університет

Кафедра інформатики та прикладної математики

Курсова робота

Тема: Розробка шаблону математичного класу багатовимірних векторів

Виконав:ст.гр.І-07

Мальченко А.Л.

м. Кривий Ріг

2010

План

Введення

1. Вектори. Основні поняття

1.1 Види векторів

1.2 Лінійно-залежні вектори

2. Операції над векторами

2.1 Прості математичні операції над векторами

2.2 Векторний добуток

3. Визначення програмного класу багатовимірних векторів

3.1 Поля

3.2 Конструктор і деструктор

3.3 Перевантажені оператори та дружні оператор-функції

Висновки

Література

Додаток 1. Лістинг програми, реалізуюча шаблон класу багатовимірних векторів. Файл „vector.h”

Додаток 2. Лістинг програми, демонструючої роботу класа. Файл „Client.cpp”.

Введення

Мета даної роботи - розробити шаблон математичного класу багатовимірних векторів.

У стрункому будинку математики більш складні математичні об'єкти будуються з простіших. Багатомірний числовий вектор може бути представлений сукупністю його дійсних або комплексних координат по осях багатовимірної координатної системи.

Для кожного класу математичних об'єктів визначено допустимий набір математичних операцій і способи їх реалізації. У даній роботі визначимо і реалізуємо операції, допустимі для математичних векторів.

У великих алгоритмічних мовах (наприклад, ADA) передбачаються складні математичні типи, але широко використовуються малі мови високого рівня, такі як Си, не містять цих можливостей. Це дає можливість глибоко вивчити обчислювальні алгоритми, доводячи їх до програмної реалізації з супутнім виловлювання алгоритмічних помилок.

Найбільш зручним інструментом для створення класів математичних об'єктів є об'єктно-орієнтоване програмування і його підтримка в мові Си ++. Ця мова дає можливість варіювати методи створення математичних об'єктів шляхом визначення в класі необхідної кількості конструкторів, здійснити перевизначення стандартних операцій для знову створених класів, використовувати потужний механізм одиночного і множинного спадкоємства властивості базових класів у похідних класах, створювати параметризованні класи та функції з підстановкою типів параметрів у процесі конструювання відповідних об'єктів. Послідовне нарощування ієрархії математичних типів на базі вже створених дозволяє істотно знизити трудомісткість програмування за рахунок виключення повторюваних послідовностей дій і уникнути внесення програми нових помилок.

1. Вектори. Основні поняття

Деякі фізичні величини, як, наприклад, температура, маса, щільність, називають скалярними. Деякі інші величини, як, наприклад: сила, переміщення точки, швидкість, прискорення, називають векторними.

Кожна скалярна величина може бути охарактеризована одним числом, що виражає відношення цієї величини до відповідної одиниці виміру. Навпаки, для характеристики векторної величини одного числа недостатньо. Це пояснюється тим, що векторні величини, крім розмірності, мають ще спрямованістю.

Число елементів вектора рахункове, може бути скінченим або нескінченним. Елементи можна отримати за допомогою дискретної спектральної функції f (щ), де аргумент щ з натурального безлічі перераховує виміру, а функція повертає значення координати в цьому вимірі. Самі вектори, залишаючись одновимірними масивами, часто використовуються для кодування координат точок, станів в багатовимірних просторах, системах. Дане функціональне трактування також дозволяє узагальнити вектор до об'єкта з непреривномерного простору.

Наприклад, скалярний добуток векторів є окремим випадком скалярного множення функцій

Размещено на

44

Размещено на

Будемо розуміти під векторним об'єктом в n-мірному просторі послідовність з n чисел (у загальному випадку комплексних), які будемо називати складовими вектора.

Сукупність всіх таких векторів утворює n-мірний векторний простір .

Вектори є предметом так званого векторного обчислення подібно до того, як числа є предметом арифметики. В векторному численні над векторами здійснюються деякі операції, вони суть математичні абстракції деяких однакових операцій вироблених з різними конкретними векторними величинами.

Два вектора будемо вважати рівними тоді і тільки тоді, коли всі їх компоненти рівні.

1.1 Види векторів

Нульовий вектор (нуль-вектор) - вектор, початок якого збігається з його кінцем. Нульовий вектор має норму 0 і позначається Размещено на

44

Размещено на

або .

Нульовий вектор визначає таке переміщення простору при якому кожна точка простору переходить в себе, іншими словами: нульовий вектор це перетворення простору.

З нульовим вектором не пов'язують ніякого напряму в просторі (тобто його можна вважати спрямованим на всі боки). Нульовий вектор прийнято вважати співнапрямленим до будь-якого вектору. Вважається, що нульовий вектор одночасно паралельний і перпендикулярний до будь-якого вектору простору.

Всі координати нульового вектора в будь-якій афінної системі координат дорівнюють нулю.

Для будь-якого вектора Размещено на

44

Размещено на

Размещено на

44

Размещено на

Для будь-якого числа c

Размещено на

44

Размещено на

Нульовий вектор дорівнює сумі будь-яких двох протилежних векторів:

Радіус-вектор (зазвичай позначається Размещено на

44

Размещено на

або просто )--Вектор, що задає положення точки в просторі щодо деякої заздалегідь фіксованої точки, що називається початком координат .

Для довільної точки в просторі, радіус-вектор - це вектор, що йде з початку координат в цю точку.

Довжина радіус вектора або його модуль, визначає відстань, на якій точка знаходиться від початку координат, а стрілка вказує напрям на цю точку простору.

Одиничний вектор або орт (одиничний вектор нормованого векторного простору) - вектор, норма (довжина) якого рівна одиниці обраного масштабу.

Одиничний вектор , колінеарний з заданим: (нормований вектор) визначається за формулою:

В якості базисних часто вибираються саме одиничні вектори, тому що це спрощує обчислення. Такі базиси називають нормованими. У тому випадку, якщо ці вектора також ортогональні, такий базис називається ортонормованним базисом.

Ізотропної вектор - комплексний вектор ,який має нульову довжину.

Формально, вектор евклідового n-мірного простору (комплексного або дійсного) ізотропний, якщо його фундаментальна форма F дорівнює нулю:

.

1.2 Лінійно-залежні вектори

Лінійно-залежними будемо вважати вектори , якщо існують такі не всі нульові константи , що

У противному випадку вектори вважаються лінійно-незалежними.

В останньому рівнянні зліва стоїть вектор-сума, що може по зробленому визначенням бути дорівнює нулю при всіх нульових складових. Якщо кількість векторів , То це векторне рівняння рівносильно системі з , рівнянь з невідомими Размещено на

44

Размещено на

Якщо число векторів більше розмірності простору , тобто число рівнянь менше числа невідомих, то система мабуть буде мати відміне від нульового рішення і наші вектори будуть відповідно лінійно-незалежні. Іншими словами - число лінійно-незалежних векторів не більше розмірності простору.

При (число рівнянь дорівнює кількості невідомих) система може мати нульове рішення (а вектори можуть бути лінійно-незалежними) тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю.

Таким чином, для лінійної незалежності векторів необхідно і достатньо, щоб визначник, складений із складових векторів, був відмінний від нуля або щоб ранг матриці, складеної з векторів, був рівним числу векторів.

Використання скалярного твори дозволяє записати систему однорідних алгебраїчних рівнянь у вигляді:

.

Звідки очевидно, що її рішення зводиться до знаходження вектора х, ортогонального до всіх векторах .

2. Операції над векторами

2.1 Прості математичні операції над векторами

Діями над векторами називаються операції додавання векторів і множення векторів на числа.