Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольной области

Разработка программы на языке С++ для решения дифференциального уравнения Лапласа в прямоугольной области методом сеток. Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, построение сетки и итерационного процесса. Листинг и результат программы.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Курсовая работа

«Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольной области»

Содержание

Введение

Аннотация

1. Численная постановка задачи

2. Решение заданного примера

3. Листинг программы

4. Результаты работы программы

Литература

Введение

Актуальность решения уравнения Пуассона состоит в том что, при вычислении решения системы уравнений Навье-Стокса, алгоритм решения этой системы происходит в несколько этапов одним из сложных является решение уравнения Пуассона.

Аннотация

Разработать программу для решения дифференциального уравнения Лапласа:

в прямоугольной области ABCD, с вершинами A(0;0), B(0:1), C(1;1), D(1,0), шагом h=l/n, где n-количество узлов, принимающее условия Дирихле на всех границах кроме правой (на правой поставлено условие Неймана). Уравнение решается методом сеток, c точностью е= 0,0000001. Программа разработана на языке C++.

• 1. Численная постановка задачи

Уравнение Лапласа является модельным для эллиптических уравнений в частных производных.

Некоторые важные задачи, часто встречающиеся в приложениях, сводятся к решению одного эллиптического уравнения. К ним относятся задачи расчета дозвукового безвихревого (потенциального) течения газа и определения стационарного поля температуры в твердом теле.

В данной работе требуется решить, конечно - разностную задачу Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа в прямоугольной области т. е. найти непрерывную функцию u(х,у), удовлетворяющую внутри многоугольной области

уравнению Лапласа

(1)

и принимающую на границе области заданные значения, т. е.

, ,

, ,

где f₁=0, f₂=0, f₃=0, f₄=0.

Будем считать, что u(х,у) непрерывна на границе области , т. е.

,

,

,

.

Выбрав шаги h, l по x и y соответственно, строим сетку:

, , , ,

где , .

Вводя обозначения

,

аппроксимируем частные производные и в каждом внутреннем узле сетки центральными разностными производными второго порядка

,

и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением

, (2)

, .



Погрешность замены дифференциального уравнения разностным, составляет величину .

Уравнения (2) вместе со значениями в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений функции и(х, у) в узлах сетки . Наиболее простой вид имеет эта система при :

, , , , (3)

, .

При получении сеточных уравнений (3) была использована схема узлов. Набор узлов, используемых для аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном. В данной работе используется шаблон типа «крест».

Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в многоугольнике состоит в нахождении приближенных значений искомой функции u(х,у) во внутренних узлах сетки. Для определения величин требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (3).

В данной работе она решается методом минимальных невязок, который состоит в построении последовательности итераций вида:

,

где - невязка

- итерационный параметр

(верхним индексом s обозначен номер итерации). При последовательность сходится к точному решению системы (3). В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять

.

Таким образом, погрешность приближенного решения, полученного методом сеток, складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального уравнения разностными значениями; погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (3).

Известно, что описанная здесь разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной задачи. Только такие схемы имеет смысл применять в реальных вычислениях. Сходимость схемы означает, что при стремлении шага сетки к нулю () решение разностной задачи стремится к решению исходной задачи. Таким образом, выбрав достаточно малый шаг h, можно как угодно точно решить исходную задачу.

Пример решения такой задачи Дирихле, приведен в решении заданного примера.

2. Решение заданного примера

программа уравнение лаплас прямоугольный

Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа (1).

Решение получить в квадрате ABCD, с вершинами A(0;0), B(0:1), C(1;1), D(1,0) шагом h=l/n, где n-количество узлов, принимающее условия Дирихле на всех границах кроме правой (на правой границе поставлено условие Неймана).

; ; ; .

Систему линейных алгебраических уравнений решить по методом минимальных невязок, при е=0,0000001.

1) Построим сетку с шагом h=l=0,2



2. Построим итерационный процесс

В виде начального приближения возьмем ,

условия окончания итерационного процесса: .

3. Листинг программы

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <iostream>

#include<windows.h>

using namespace std;

//объявление типов точек области начало

#define FictivePoint 0 //не расчетная точка

#define ActualPoint 1 //расчетная точка

#define TopPoint 2 //точка на верхней границе

#define RightPoint 3 //точка на правой границе

#define BottomPoint 4 //точка на нижней границе

#define LeftPoint 5 //точка на левой границе

#define LeftBottomPoint 6 //точка на выпуклом угле

//объявление типов точек области конец

FILE *file;

//проверка на симетричность начало

double Simetric(int n,double **M)

{

int k=0;

for(int i=0;i<n;i++)

{

for(int j=0;j<n;j++)

{

if(M[i][j]==M[j][i])

{

k++;

}

}

}

if(k==n*n)

{

for(int i=0;i<n;i++)

{

for(int j=0;j<n;j++)

{

if(M[i][j]==M[j][i])

{

if(i!=j)

{

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 2 ) ;

}

if(i==j)

{

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 7 ) ;

}

cout<<M[i][j]<<" ";

}

}

cout<<endl;

}

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 2 ) ;

cout<<"Матрица симетрична!"<<endl;

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 7 ) ;

}

if(k!=n*n)

{

for(int i=0;i<n;i++)

{

for(int j=0;j<n;j++)

{

if(M[i][j]==M[j][i])

{

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 7 ) ;

cout<<M[i][j]<<" ";

}

if(M[i][j]!=M[j][i])

{

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 4 ) ;

cout<<M[i][j]<<" ";

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 7 ) ;

}

}

cout<<endl;

}

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 4 ) ;

cout<<"Матрица не симетрична!"<<endl;

SetConsoleTextAttribute ( GetStdHandle ( STD_OUTPUT_HANDLE ) , 7 ) ;

}

return 0;

}

//проверка на симетричность конец

//проверка на знакоопределенность н...