Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в Maple

Прикладной математический пакет Maple. Набор инструментов для работы с дифференциальными уравнениями в частных производных. Метод разделения переменных. Метод функций Грина. Построение формального решения на входном Maple-языке. Основные типы операций.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Размещено на

КУРСОВАЯ РАБОТА

Решение Дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в maple

РЕФЕРАТ

Курсовая работа посвящена решению дифференциальных уравнений в частных производных методом функционального программирования в прикладном математическом пакете Maple.

Составлены таблицы типов информации и типы операций, требующиеся при формальном построении решения дифференциального уравнения в частных производных.

На примере были рассмотрены функциональные алгоритмы построения формальных решений одномерных и двумерных уравнений параболического типа методами, такими как метод разделенных переменных, методы Грина и другие. В приложении показаны примеры решения неоднородных уравнений параболического типа методом Грина.

Работа состоит из введения, 3 разделов, 2 таблиц, заключения, библиографического списка из 4 источников, одного приложения, в котором приведена реализация примеров решения уравнений.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Построение формального решения на входном Maple-языке

2. Метод разделения переменных

3. Метод функций Грина и другие методы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ВВЕДЕНИЕ

Прикладной математический пакет MAPLE обладает большим набором инструментов для работы с дифференциальными уравнениями в частных производных. Среди них: установление порядка уравнения, исследование на возможность разделения переменных, определение условий поиска решения в виде суммы или произведения функций, получение решения из функций, получаемых командой pdsolve для разделенных уравнений, выполнение замены переменных и различных подстановок и т.п.

Между тем последовательное решение дифференциальных уравнений в частных производных (даже в самых простых случаях) представляет собой сложную комплексную задачу, требующую специальных математических навыков, корректного учета начальных и граничных условий, проведения исследования полученных решений. При этом трудоемкие разделы математики - векторный анализ, специальные функции, теория рядов, интегральные преобразования и другие - являются необходимыми средствами для решения задач математической физики. Заметим, что эти математические инструменты высокоразвиты в MAPLE и удобны для применения, по их использованию в научных исследованиях и образовании имеется обширная литература. Проблема же решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием математических пакетов в виду ее сложности до сих пор требует особых подходов и разработок. При этом оказывается, что для большого числа задач с использованием символьного MAPLE-процессора можно составить достаточно универсальные алгоритмы, с помощью которых на входном MAPLE-языке можно запрограммировать формальное построение решения дифференциальных уравнений в частных производных. Построенные общие решения могут быть программными же средствами использованы для конкретных физических задач.

1. Построение формального решения на входном Maple-языке

Проблема решения дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE представляет собой программную задачу, сочетающую использование инструментов пакета с необходимыми дополнительными алгоритмами: учет начальных и граничных условий (НУ и ГУ), сложные и, зачастую, нетривиальные преобразования промежуточных результатов (основанные, например, на исследовании асимптотического поведения функций), программное использование дополнительной и/или специальной информации (например, использование рекуррентных соотношений для некоторых специальных функций, которые пока недоступны средствами MAPLE) и т.п. Более того, при решении сложных задач требуется программирование отдельных этапов решения с последующим объединением промежуточных результатов, а также создания комплексов программ (например, при комплексном аналитическом и численном - решении уравнений и различных способах визуализации и интерпретации результатов).

Для программирования построения формального решения на входном MAPLE-языке необходим ввод необходимой начальной информации (табл. 1) с последующим выполнением определенных алгоритмических операций (табл. 2).

Таблица 1

Типы информации при решении дифференциальных уравнений в частных производных средствами MAPLE

Тип информации	Содержание
Основная Информация	Вызов пакетов расширения.
	Задание системы координат.
	Ввод дифференциального уравнения в частных производных.
	Ввод начальных и граничных условий.
	Ввод различных функций и операторов.
	Вызов средств аналитического или численного решения уравнений.
Дополнительная информация	Представление функции при разделении переменных.
	Выполнение замены переменных(при необходимости).
	Переопределение постоянных, которые по умолчанию присваиваются пакетом.
	Ввод математической информации, недопустимой в Maple.
	Ввод специфических данных(физические параметры, габариты и т.д.).
	Ввод и вывод информации, связанной с текущим контролем выполняемых операций(получение результата для известного частного случая, контроль другими средствами).
	Ввод информации о форме представления результата (экспоненциальная, тригонометрическая и т.п. формы решения).
	Ввод информации для исследования промежуточных и конечных результатов (о порядке разложения в ряд, асимптотике, сравнениях и т.п.).
Рабочая информация	Последовательность вывода полученных результатов.
	Форматы переменных и данных.
	Вывод промежуточных результатов.
	Типы и форматы графиков.
	Пределы изменения переменных.

Заметим, что если ввод и использование основной информации является хорошо разработанным алгоритмом для многих задач, решаемых в MAPLE, то именно программирование, использование дополнительной и рабочей информации, интерпретация промежуточных результатов и их дальнейшее использование при решении уравнений в частных производных представляет собой основную программную задачу.

При этом программные средства MAPLE дают возможность построения формализма решения в терминах и обозначениях известных классических подходов к решениям таких задач. Возможно, это и не является необходимым моментом, но может оказаться важным не только с точки методической точки зрения, но и по ряду существенных моментов, включающих апробацию разрабатываемых методов решений, их интерпретацию и применение.

Таблица 2

Основные типы операций при формальном построении решения дифференциального уравнения в частных производных средствами MAPLE

Тип операции	Содержание	Выход
1. Ввод уравнения	Программная запись уравнения на входном MAPLE-языке.	Уравнение на входном MAPLE-языке.
2. Ввод дополнительных данных	Программная запись НУ и ГУ.	НУ и ГУ на входном MAPLE-языке.
3. Использование средств исследования уравнения суммы или произведения функций.	Установление порядка ДУ.	Вывод ответов программой.
	Исследование возможности разделения переменных.
	Определение условий поиска решения в виде.
4. Использование средств преобразования уравнения.	Выполнение замены переменных.	Другие файлы: Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теп... Дифференциальные уравнения в частных производных Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решени... Вариационные методы решения систем линейных уравнений Решение дифференциальных уравнений в частных производных. Метод минимальных невязок, минимальных поправок, скорейшего спуска, сопряженных градиентов.... Информационные технологии в математике В учебно-методическом пособии изложены возможности решения ряда математических задач с использованием пакетов символьной математики. Пособие охватывае... Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов В книге рассмотрены классические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, метод интегральных преобразов...