Пример матрицы смежности для соответствующей сети. Функция распределения степеней узлов. Вариант матрицы смежности для взвешенной сети. Распределение степеней для случайных графов. Требования к интерфейсу. Алгоритм модели Баррат-Бартелэмью-Веспиньяни.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Введение

Активно развивающаяся в последнее время теория сложных сетей позволяет понять и количественно характеризовать многие свойства окружающего нас мира. К сложным сетям относятся сети социальных и экономических связей, сети трафика транспорта, энергии, информации и многое другое. Основная цель изучения сетей - разработка алгоритмов для управления, оптимизации и предсказания процессов в сетях.

Однако, как давно было признано, многие сети являются существенно взвешенными, их ребра имеют различную силу. В социальных сетях между людьми могут быть более сильные или более слабые социальные связи. В сети метаболизма может быть больший или меньший поток вдоль частных путей реакции. В пищевых сетях может быть больший или меньший энергетический или углеродный поток между парами жертва-хищника. Весам ребер в сетях уделяется в физической литературе относительно небольшое внимание по той исключительной причине, что в любой области рекомендуется рассмотреть сначала простые случаи (невзвешенные сети) и только потом перейти к более сложным (взвешенные сети). С другой стороны, есть много случаев, когда веса ребер сети известны, и игнорировать их - значит отбросить много данных, которые, по меньшей мере теоретически, могли бы помочь нам лучше понять эти системы.

Данная работа посвящена разработке программного обеспечения для анализа и моделирования взвешенных сетей.

1. Теоретико-аналитическая часть

Взвешенная сеть представляет собой сеть, где связи между узлами имеют веса, привязанные к ним. Сеть представляет собой систему, элементы которой так или иначе связаны. Элементы системы представлены в виде узлов (вершин) и связей (ребер) между ними. Узлы могут быть нейронами, индивидами, группами, организациями, аэропортами или даже странами, тогда как связь может осуществляться в форме дружбы, общения, сотрудничества, союза, поток или торговли.

В ряде реальных сетей не все связи в сети имеют одинаковую мощность. На самом деле, связи часто ассоциируются с весами, которые отличают их по своей силе, интенсивности или мощности. С одной стороны, сила социальных отношений в социальных сетях - это показатель их продолжительности, эмоциональной напряженности, интимности и обмена услугами. С другой стороны, для несоциальных сетей, вес часто ссылается на функцию, выполняемую связью, например, поток углерода между видами в пищевых цепях, количество синапсов в нейронных сетях или объем трафика, проходящего по связям в транспортных сетях.

1.1 Основные характеристики

Степень узла. В современной теории сетей число связей узла называется степенью (degree). Как видно из рисунка 1, узел A имеет степень пять, остальные узлы - степень три. Понятие степень является локальной характеристикой графа [1].



Рис. 1. Невзвешенный граф

Матрица смежности. Сетевые структуры можно описывать в матричной форме. Сеть из N узлов описывается квадратной матрицей смежности a размерности , в которой ненулевые элементы матрицы обозначают наличие связей между соответствующими узлами. Для неориентированных сетей недиагональный элемент матрицы смежности равен числу связей между узлами i и j, и, следовательно, матрица для такой сети симметрична. Предполагается, что петли единичной длины и кратные связи запрещены, следовательно, значения диагональных элементов равны нулю [1].

На рисунке 2 показан пример матрицы смежности для соответствующей сети.

Рис. 2. Матрица смежности

Распределение степеней. Функция распределения степеней узлов P(k) - вероятность того, что узел i имеет степень k_i = k [2].

. (1)

Кластеризация. Кластеризация - это локальная характеристика сети. Она характеризует степень взаимодействия между собой ближайших соседей данного узла. В большинстве сетей, если узел А соединен с узлом В, а узел В-с узлом С, то существует большая вероятность, что узел А соединен с узлом С (друзья наших друзей обычно также являются и нашими друзьями).

Коэффициент кластеризации данного узла есть вероятность того, что два ближайших соседа этого узла сами есть ближайшие соседи. Другими словами, если узел j имеет ближайших соседей с числом связей между ними, то локальный коэффициент кластеризации равен:

. (2)

Число есть суммарное число треугольников - циклов длины 3 - прикрепленных к узлу j, а - максимально возможное число треугольников. Если все ближайшие соседи узла j взаимосвязаны, то . Когда между ними нет связей (как у деревьев), то .

Кластеризация всей сети определяется как:

, (3)

где - число треугольников в сети, а - число связанных триад, где «связанная триада» означает узел и два его ближайших соседа [1].

Рис. 3. Кластеризация

На рисунке 3 показан пример кластеризации. Данная сеть состоит из одного треугольника и восьми «вилок», (под «вилкой» понимают вершину с двумя ребрами), поэтому коэффициент кластеризации для заданной сети будет равен:

. (4)

Вес ребра. Это значение, поставленное в соответствие данному ребру взвешенной сети. Сумма весов всех связей узла i называется силой этого узла.

Матрица весов. Вариант матрицы смежности для взвешенной сети, представляет собой квадратную матрицу a размерности  (N - число вершин), элемент которой равен весу ребра , если таковое имеется в сети; в противном случае  элемент полагается равным нулю или бесконечности в зависимости от решаемой задачи. На рисунке 4 показан пример матрицы весов для соответствующей сети.

Рис. 4. Матрица весов

1.2 Основные модели, описывающие поведение сетей

Модель случайных графов Эрдеша - Реньи. В 1959 г. Эрдеш и Реньи предложили математическую теорию случайных графов. Процесс построения сети Эрдеша и Реньи можно описать в терминах «орел и решка»: имеется конечное число узлов, выбирается два узла, если выпадает орел, узлы связываются между собой; в случае решки эти два узла не соединяются; далее случайно выбирается другая пара вершин, и процесс повторяется (или в более общем случае случайно выбранная пара вершин сети с вероятностью соединяется, а вероятностью не соединяется, где ). Авторы рассматривали сети с достаточно большим числом вершин и показали, что топология сети описывается биномиальным распределением.

До работ Эрдеша и Реньи теория графов концентрировалась исключительно на малых и регулярных графах, которые не содержали неопределенностей в структуре. Но при исследованиях таких сложных систем, как Интернет или клетка, регулярные графы становятся скорее исключением, чем нормой. Эрдеш и Реньи впервые показали, что большие случайные графы очень «усложнены» и в принципе могут быть описаны с помощью теории вероятностей.

В 1982 г. один из учеников Эрдеша - Б. Боллобас, профессор математики в Университете Мемфиса в США и в Колледже Троицы в Великобритании, рассматривал случайные сети с бесконечным числом вершин и описал форму распределения степеней (вероятность того, что случайным образом выбранная вершина имеет k ребер). Он показал, что распределение степеней для такой сети описывается распределением Пуассона. Распределение Пуассона имеет характерный максимум, указывающий на то, что узлы сети в среднем имеют примерно одинаковое число связей. По обе стороны пика распределение быстро спадает, отклоняясь достаточно мало от среднего значения.

Модель сети с предпочтительным присоединением. В 1999 г. Барабаси и Альберт предложили модель растущей сети, основанную на двух принципах:

1) рост: начинаем с небольшого числа () вершин, на каждом временном шаге к сети добавляется новая вершина, которая связывается ( ) ребрами с уже существующими в системе вершинами;



Рис. 5. Распределение степеней для случайных графов. N = 1000, p = 0.5

2) предпочтительное присоединение: вероятность того, что новая вершина окажется связанной ребром с вершиной пропорциональна ее степени:

(5)

С помощью этой модели, объединяющей рост и предпочтительное присоединение, удалось генерировать сеть с масштабно-инвариантным распределением степеней. Но, к сожалению, масштабно-инвариантная модель не могла в полной мере воспроизвести реальные сети. Хотя она порождала сеть со степенным распределением степеней , значение показателя степени в ней оказывалось фиксированным - , в то время как для сетей реального мира значение находится в интервале от 2 до 3. Многие эффекты, а именно: появление новых случайных связей, исчезновение узлов и связей и пересвязывание, в этой модели были для простоты проигнорированы. Тем не менее, масштабно-инвариантная модель вызвала огромный интерес и в дальнейшем были предложены различные ее модификации.



Рис. 6. Модель предпочтительного присоединения

Модель взвешенного предпочтительного присоединения. Модель роста взвешенных сетей, которая объединяет добавление новых ребер и вершин и динамическое изменение весов. Модель основана на простой динамике весов и создает сеть, представляющую статистические свойства, которые наблюдаются в нескольких реальных системах. В частности, модель дает нетривиальную эволюцию во времени свойств вершин и масштабно-инвариантное поведение распределений весов, сил и степеней [3]. Модель была предложена А. Барратом, М. Бартелэмью и А. Веспиньяни...