Методы решения задачи синтеза системы управления динамическим объектом. Сравнительная характеристика параметрического и структурно-параметрического синтеза. Схема процесса символьной регрессии. Принцип действия метода аналитического программирования.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

Разработка и исследование метода аналитического программирования для структурно-параметрического синтеза системы управления динамическим объектом

1. Методы решения задачи синтеза системы управления динамическим объектом

1.1 Синтез управления системы динамическим объектом

Тема синтеза управления на сегодняшний день занимает центральное место в теории автоматического управления. В середине 50-х ХХ века теория оптимального управления выделилась в отдельную науку. В её основу вошли вариационные исчисления, принцип максимума Л.С. Понтрягина, метод динамического программирования Р. Беллмана, метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) А.М. Летова и Р. Калмана, численные методы оптимизации.

Задача синтеза заключается в нахождении синтезирующей функции, при которой система удовлетворяла бы требуемым показателям качества и ограничениям.

Объект управления задается математической моделью в виде обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши.

	(10)

Критерии качества представляются в виде терминальных условий и интегральных функционалов:

	(11)

Чаще всего ими являются быстродействие, точность и энергоемкость.

Требуется найти управляющее воздействие, позволяющее оптимальным образом решать поставленную перед разработчиками инженерную задачу:

	(12)
	(13)

Таким образом, можно выделить пять основных этапов решения:

1. Написать математическую модель объекта управления.

2. Определить в модели управление и ограничения.

3. Составить критерии качества.

4. Сформулировать задачу оптимального управления.

5. Разработать алгоритм решения.

1.2 Структурно-параметрический синтез

Структурно-параметрический синтез - это процесс, результатом которого является структура управляющего объекта и значения её параметров, при которых выполняются требования технического задания (критерии качества).

Во время структурно-параметрического синтеза изменяются как параметры, так и структура, в то время как при параметрическом синтезе структура объекта остаётся постоянной. Таким образом, увеличивается пространство поиска синтезирующей функции, что позволяет находить наиболее оптимальный способ решения поставленной задачи. Однако при этом требуется использование дополнительных методов, вследствие чего алгоритм решения усложняется, поскольку синтез структур является трудноформализуемой задачей.

Сравнительная характеристика параметрического и структурно-параметрического синтеза приведена в таблице 1.

Таблица 1. Сравнительная характеристика

Название характеристики	Параметрический синтез	Структурно-параметрический синтез
1. Структура модели	Фиксирована на протяжении всего процесса синтеза	Заранее неизвестна и формируется автоматически
2. Где осуществляется поиск?	В пространстве параметров, следовательно, изменяются только параметры	В пространстве параметров и структур, т.е. преобразуются и параметры и структура
3. Размерность вектора параметров	Фиксирована	Заранее неизвестна и зависит от изменения структуры

1.3 Классические методы решения задачи синтеза управления

Значение синтезирующей функции можно вычислить, если решить задачу оптимального управления для текущего состояния объекта, считая его начальным, непосредственно в процессе управления объектом. Однако в большинстве случаев такой подход осуществить невозможно. Возникает проблема нахождения математического выражения, которое описывает зависимость управления от координат пространства состояния объекта.

Первым для решения задачи синтеза управления, как функции координат пространства состояния объекта, стал метод динамического программирования [1]. Он основывается на принципе оптимальности, который можно сформулировать следующим образом: отрезок оптимального процесса от любой его точки до конца процесса сам является оптимальным процессом с началом в этой точке. Согласно данному методу структура оптимального управления определяется путём решения уравнения Беллмана для непрерывных детерминированных систем, которое является достаточным условием минимума функционала критерия качества. При этом данный способ имеет важный недостаток, названный «проклятием размерности», который заключает в том, что сложность решения стремительно возрастает с увеличением размерности задачи.

Ещё один метод решения данной задачи - принцип максимума Л.С. Понтрягина [2]. Это определенного типа необходимое условие экстремума, которое даёт возможность среди всех возможных допустимых процессов выделить те, которые могут претендовать на роль оптимальных. Наиболее полное решение задачи оптимального управления получено для линейных систем, где соотношения принципа максимума часто выступают не только как необходимое, но и как достаточное условие оптимальности. В отличие от классического вариационного исчисления он позволяет решать задачи управления, в которых на управляющие параметры наложены весьма общие ограничения.

Главную роль в принципе максимума Л.С. Понтрягина играет функция Гамильтона (гамильтониан), которая имеет вид:

	(14)

где - сопряженные переменные и .

Л.С. Понтрягиным доказано, что оптимальное управление достигается при максимуме функции:

.	(15)

Главным препятствием для использования этого принципа в реальных системах является отсутствие начальных условий .

Наиболее известным и исследованным является метод аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), который в России впервые был разработан профессором А.М. Летовым [3]. Также одним из основателей метода стал американский математик Р. Калман [4]. Затем АКОР получил своё развитие в работах многих других ученых. Методы теории АКОР хорошо формализованы. При этом данный подход достиг своей практической завершенности только для линейных стационарных систем с функционалом квадратичного вида, путём сведения задачи к решению нелинейных алгебраических уравнений Риккати.

Значительное развитие в решении нелинейной теории АКОР было получено в работах А.А. Красовского [5] по неклассическим функционалам обобщенной работы. Суть этого подхода состоит в приведении уравнения Беллмана к линейному виду в частных производных, что позволяет разработать ряд приближенных методов его решения. В литературе существуют другие частные результаты по нелинейной теории АКОР, однако, в целом, проблема синтеза оптимальных регуляторов в своем практическом применении еще далека от разрешения.

Таким образом, аналитическими методами нельзя получить решение задачи синтеза управления для произвольной нелинейной модели объекта управления и функционала общего вида.

Получение математического выражения в форме параметрической многомерной функции не представляет особого интереса, так как это возможно только для ограниченного класса систем управления.

Однако с развитием современных вычислительных технологий на сегодняшний день стало возможным осуществлять поиск формы математического выражения оптимального управления для любых систем. Данный подход тесно связан с понятием символьной регрессии и эволюционными алгоритмами поиска минимума (максимума) функций.

1.4 Эволюционные алгоритмы

Эволюционные алгоритмы (ЭА) - это оптимизационные методы, принцип действия которых основан на биологической теории эволюции Ч. Дарвина и генетики. В них используются такие операторы как селекция, рекомбинация и мутация.

Основная идея ЭА состоит в том, что начальные «варианты решения» изменяются и комбинируются до тех пор, пока не найдётся решение задачи заданной точности.

Как правило, ЭА применяются в тех случаях, когда недостаточно информации о структуре решаемой проблемы или когда множество возможных решений задачи слишком велико.

ЭА также используются при комбинаторной оптимизации, в частности при решении класси...