Разработка алгоритма программы нахождения производной методом неопределённых коэффициентов

Сущность метода неопределённых коэффициентов, использование интерполяционных многочленов и разностных соотношений для аппроксимации производных. Алгоритм программы и обоснование языка программирования. Экспериментальное исследование и решение задачи.
Краткое сожержание материала:

1

ТУЛЬСКИЙ АРТИЛЛЕРИЙСКИЙ ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра №10 «Математического, программного и

информационного обеспечения АСУ»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту по дисциплине

«1001 - Дискретная математика»

Тема: «Разработка алгоритма программы нахождения производной

методом неопределённых коэффициентов»

Руководитель:

Исполнитель:

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1.Постановка и уяснение задачи:

1.1Анализ предметной области

1.1.1 Метод неопределённых коэффициентов

1.1.2 Использование интерполяционных многочленов

1.1.3 Использование конечно разностных соотношений для аппроксимации производных

2. Разработка алгоритма и программы:

2.1 Разработка алгоритма

2.2 Обоснование выбора языка программирования

2.3 Разработка программы

3.Экспериментальное исследование алгоритма и программы:

3.1Решение задачи методом неопределённых коэффициентов

3.2 Тестирование программы

3.3. Руководство программисту

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Введение

Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи вычисления однократных интегралов, и доля задач, интегрируемых в явном виде, здесь существенно меньше.

Когда говорят об интегрируемости в явном виде, имеют в виду, что решение может быть вычислено при помощи конечного числа “элементарных” операций: сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисление синуса и косинуса и т.д.

Уже в период, предшествовавший появлению ЭВМ, понятия “элементарной” операции претерпели изменения. Решение некоторых частных задач настолько часто встречаются в приложениях, что пришлось составить таблицы их значений, в частности таблицы интегралов Френеля, функций Бесселя и ряда других так называемых специальных функций. При наличии таких таблиц исчезает принципиальная разница между вычислением функций sin x, ln x,… и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функции можно приближая их многочленами, рациональными дробями и т.д.

Таким образом, в класс задач, интегрируемых в явном виде, включились задачи, решение которых выражаются через специальные функции. Однако и этот, более широкий, класс составляет относительно малую долю задач, предъявляемых к решению. Существенное расширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а следовательно и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов и активным повсеместным использованием ЭВМ.

В настоящее время затраты человеческого труда при решении на ЭВМ задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений сравнимы с затратами на то, чтобы просто переписать заново формулировку этой задачи.

При желании можно получить график решения или его изображение на экране. В результате этого для многих категорий научных работников существенно уменьшился интерес к изучению частных способов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в явном виде.

Эта работа посвящена описанию одного из методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и исследования свойств этого метода.

Обратим внимание на то обстоятельство, что как и в других случаях, первоначальный анализ практической пригодности метода производится, изучая простейшие задачи, где точное и приближенное решение задачи выписываются в явном виде.

1.Постановка и уяснение задачи

Необходимо разработать алгоритм и программу, выполняющую задачу по нахождению производной методом неопределённых коэффициентов. Необходимо провести анализ существующих методов решения поставленной задачи. Наиболее подходящим считать метод неопределённых коэффициентов. Результатом выполнения работы иметь корректно работающую программу и правильно оформленную техническую документацию.

1.1 Анализ предметной области

1.1.1 Метод неопределённых коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов применяется для численного дифференцирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Он заключается в следующем.

Искомое выражение для производной k-го порядка для некоторой точке x=x_i представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах x₀, x₁, …, x_n:

y_i^(k)=C₀y₀+C₁y₁+…+C_ny_n. (2.1)

Предполагается, что эта формула имеет место для многочленов:

y=1; y=x-x_i;…; y=(x-x_i)ⁿ.

Подставляя последовательно эти многочлены в выражение (2.1) можно получить систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов С₀, С₁, …, С_n.

Рассмотрим порядок использования данного метода для нахождения производной на следующем примере.

Пример. Найти выражение для определения производной у₁' в случае задания функции в четырёх равноотстоящих узлах.

Решение. Равенство (2.1) запишется в следующем виде

y_i^(k)=C₀y₀+C₁y₁+С₂у₂+C₃у₃ . (2.2)

Для нахождения производной у₁' используем, например, следующие многочлены:

y=1; y=x-x₀; у=(х-х₀)²; y=(x-x₀)³. . (2.3)

Производные этих многочленов будут иметь следующий вид соответственно:

y'=0; y'=1; у'=2(х-х₀); y'=3(x-x₀)². . (2.4)

Подставляя последовательно соотношения (2.3) и (2.4) соответственно в правую и левую части равенства (2.2), получим в общем виде при х=х₁, следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов С₀, С₁, …, С_n:

После упрощения данная система линейных алгебраических уравнений примет следующий вид:



Решив данную систему уравнений, получим следующие значения коэффициентов и выражение для нахождения производной у₁':

1.1.2 Использование интерполяционных многочленов

Пусть функция f(x) задана в виде таблицы y_i=f(x_i), i=0,1,…n с постоянным шагом h. Предположим, что эта функция может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Ньютона:

Этот многочлен можно продифференцировать по х с учётом правила дифференцирования сложной функции:

В результате можно получить формулы для вычисления производных любого порядка. Например:



Пусть та же функция может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Лагранжа. Рассмотрим интерполяционный многочлен Лагранжа для случая трёх узлов интерполяции (n=2):

Этот многочлен можно продифференцировать по х, тогда первая производная будет иметь следующий вид:

В частности,

1.1.3 Использование конечно разностных соотношений для аппроксимации производных

Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел при x0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует). Для обозначения производной функции y=f(x) в точке x₀ используют символы y'(x₀) или f'(x₀). То есть, по определению,