Программа для решения линейных уравнений

Понятия систем линейных уравнений и матриц. Решение общей системы линейных уравнений по методу Гаусса. Системные требования, методы установки, удаления и работы с программой. Методы защиты от неверного ввода данных. Тестирование и опытная эксплуатация.
Краткое сожержание материала:

Размещено на

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

2.1 Основные понятия систем линейных уравнений

2.1.1 Основные понятия матриц

2.1.2 Действия над матрицами

2.1.3 Обратная матрица

2.1.4 Ранг матрицы

2.2 Решение общей системы линейных уравнений по Методу Гаусса

3. РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ

3.1 Системные требования

3.2 Установка программы

3.3 Работа с программой

3.4 Удаление программы

4. РУКОВОДСТВО ПРОГРАММИСТА

4.1 Общие сведения

4.2 Основные переменные, используемые в программе

4.3 Функции используемые в программе

4.4 Защита от неверного ввода данных

4.5 Пример расчета. Тестирование и опытная эксплуатация

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б ЛИСТИНГИ ИСХОДНЫХ ТЕКСТОВ

ВВЕДЕНИЕ

Основная задача, стоящая перед студентом при написании курсовой работы - на основе предоставленного математического аппарата разработать алгоритм и составить программу на языке высокого уровня.

Построение алгоритма начинается с создания укрупнённых блоков, кратко характеризующих минимальные требования для понимания программы. Затем каждый блок расписывается подробнее в соответствии с математическим аппаратом.

Основная задача курсового проекта разработка и создание алгоритма программы, которая решает системы линейных уравнений по методу Гаусса.

Преимущество этой программы заключается в том, что размерность линейных уравнений может менять пользователь.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Представленная программа позволяет решать линейные уравнения по методу Гаусса. Программа созданная под операционную систему Windows.

При запуске программы выводиться основное меню, где имеется поле заполнения уравнения, где пользователь вносит нужные значения, для облегчения вносимых значений специально сделана кнопка RANDOM, которая облегчает внос значений в поле заполнения. Также имеется дополнительное небольшое меню с несколькими кнопками, такие как «Применить», «RANDOM», «Решить систему», «Выход», «Разработчик», которые необходимы для вноса, редактирования и решения уравнений.

Кнопка «Применить» предназначенная для размерности уравнений. Пользователь в небольшом окошке выбирает размерность уравнения. Диапазон размерности рассчитан (от 1 до 30) линейных уравнений. Если вводится неправильное значение, то программа выводит ошибку.

Кнопка «RANDOM» предназначенная для облегчения (ввода значений вручную), при нажатии кнопки производится ввод автоматических значений в поле заполнения уравнений. Автоматические значения, вносимые в поле заполнения, имеют диапазон (от -50 до 50).

Кнопка «Решить систему» выполняет самую важную функцию - это решение линейного уравнения. Если неправильно будет заполнено поле уравнения, то при нажатии кнопки “Решить систему” программа выдаст окошко с неправильно введённым параметром.

Кнопка «Выход» предназначенная для незамедлительного выхода из программы.

Кнопка «Разработчик» при нажатии выводит окно, где написаны сведения о программе.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

2.1 Основные понятия систем линейных уравнений

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂ ;

a_m1x₁+ a_m2x₂ + …+ a_mnx_n = b_m ;

где х₁, х₂, …, х_n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению.

Как видно из структуры системы, в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁, а₁₂, … , а_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, … , b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а_ij

(i = 1, 2, . . ., m; j = 1, 2, . . .,n) и свободные члены b_i (i=1, 2, . . .,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а_ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс - номеру неизвестной х_i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел б₁, б₂, б_n, которая будучи поставлена в систему на место неизвестных х₁, х₂, …, х_n, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

2.1.1 Основные понятия матриц

Матрица размерами m Ч n - совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А)

2 5 2

А= 3 10 7 - матрица.

6 -3 -4

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

В общем виде матрицы:

а₁₁ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

M = a₃₁ a₃₂ … a_3n

a_m1 a_m2 … a_mn

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой - номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) - её порядком.

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [a_ij] и В = [b_ij] одинакового типа называются равными, если a_ij = b_ij при всех i и j.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а_ij = 0, - нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ, а элементы квадратной

матрицы порядка n,сумма индексов каждого из которых равна n+1, -

побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

1 0 … 0

Е = 0